Enunciado

Nos Exercícios 37-40, encontre as direções nas quais ƒ cresce e decresce mais rapidamente em P0 e encontre a derivada de ƒ em cada direção. Encontre também a derivada de ƒ em P0 na direção do vetor v.

f x , y , z = x 2 + 3 x y - z 2 + 2 y + z + 4   P 0 0 , 0 , 0

v = i + j + k

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! Para encontrarmos as direções de crescimento e decrescimento de f precisamos achar o seu gradiente, dado por:

∇ f = δ f δ x i + δ f δ y j + δ f δ z j

E a partir disso, encontraremos o vetor unitário do gradiente de ∇ f .

Temos então que para:

f x , y = x 2 + 3 x y - z 2 + 2 y + z + 4   P 0 0,0 , 0

Temos:

∇ f = 2 x + 3 y i + 3 x + 2 j + 1 - 2 z k

Dessa forma aplicado ao ponto:

∇ f = 2 j + k

Para encontrar o vetor unitário, precisamos primeiro do módulo de ∇ f , dado por:

∇ f = 2 2 + 1 2 = 5

∇ f = 5

O vetor unitário gradiente por sua vez é dado por:

u = ∇ f ∇ f = 2 5 j + 1 5 k

Significando que f cresce mais rapidamente nessa direção, e descresce justamente no negativo dela, ou seja:

- u = - 2 5 j - 1 5 k

Resposta

u = ∇ f ∇ f = 2 5 j + 1 5 k

- u = - 2 5 j - 1 5 k

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 2 a 6 , calcular, usando a definição, a derivada direcional no ponto e direção indicados:5. f x , y = 2 - x 2 - y 2 , P ( 1 ,1 ) , na direção do vetor tangente unitário à curva C : r →
Nos exercícios 2 a 6, calcular, usando a definição, a derivada direcional no ponto e direção indicados.6. f x ,y ,z = 2 x + 3 y - z ,P 1 ,1 ,- 1 na direção do eixo positivo dos y .
12. O Capitão Astro está outra vez em perigo perto da orbita de Mercúrio. Ele está na posição P 0 = ( 1,1 , 1 ) , e a temperatura de blindagem de sua espaçonave num ponto ( x , y , z ) é dada por T x
6- Seja f x ,y = x y x 2 + y 2 ,x ,y ≠ ( 0,0 ) 0 ,x ,y = ( 0,0 ) Mostre que:c) f ( x ,y ) possui derivadas direcionais em todas as direções no ponto 0 ,0 .
12. O Capitão Astro está outra vez em perigo perto da orbita de Mercúrio. Ele está na posição P 0 = ( 1,1 , 1 ) , e a temperatura de blindagem de sua espaçonave num ponto ( x , y , z ) é dada por T x