12. O Capitão Astro está outra vez em perigo perto da orbita de Mercúrio. Ele está na posição P_0 = (1.1, 1) , e a temperatura de blindagem de sua espaçonave num ponto (x, y, z) é dada por T(x, y, z) = e^(-x^2 - 2y^2 - 3z^2) graus.

a) Que direção ele deve tomar para perder temperatura o mais rápido o possível?

Passo 1

Como o vetor gradiente é o vetor que aponta da direção onde a função cresce mais rapidamente, isto é, aponta na direção onde a função obtem maior crescimento. Utilizando esse raciocínio, basta apenas tomar seu oposto para obter a direção onde ela descrece mais rapidamente. Então vamos lá:

∇ T ( P ) = ( - 2 x e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 , - 4 y e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 , - 6 z e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 )

∇ T P 0 = - 2.1 . e - 1 2 - 2 . 1 2 - 3 . 1 2 , - 4.1 e - 1 2 - 2 . 1 2 - 3 . 1 2 , - 6.1 e - 1 2 - 2 . 1 2 - 3 . 1 2 = ( - 2 e - 6 , - 4 e - 6 , - 6 e - 6 )

Desta forma, temos que a direção onde ela decresce mais rapidamente é:

- ∇ T = ( 2 e - 6 , 4 e - 6 , 6 e - 6 )

Como 2 e - 6 é um fator comum, então o a direção é dada por v = ( 1,2 , 3 )

Resposta

- ∇ T = ( 2 e - 6 , 4 e - 6 , 6 e - 6 ) e fatorando temos v = ( 1,2 , 3 )

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