Enunciado

Nos Exercícios 1-6, encontre o gradiente da função no ponto determinado. Em seguida, esboce o gradiente juntamente com a curva de nível que passa pelo ponto.

g x ,   y = x 2 2 - y 2 2 ,     2 ,   1

Passo 1

Olá galerinha, vamos lá encarar este exercício juntos!

O vetor gradiente de f x ,   y em um ponto P 0 x 0 ,   y 0 é o vetor

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j

obtido por meio do cálculo das derivadas parciais de f em P 0 .

Do enunciado temos a seguinte função:

g x ,   y = x 2 2 - y 2 2

A derivada da função f em relação a x é:

∂ g ∂ x = 2 x 2 = x

E em relação a y :

∂ g ∂ y = - 2 y 2 = - y

Sendo assim, nosso gradiente é:

∇ f = x i - y j

Substituindo nosso ponto do enunciado 2 ,   1

∇ f = 2 i - j

Passo 2

No ponto 2 ,   1 , temos:

g x ,   y = x 2 2 - y 2 2 = 2 2 2 - 1 2 2

g x ,   y = 1 - 1 2

g x ,   y = 1 2

Ou seja:

x 2 2 - y 2 2 = 1 2

x 2 - y 2 = 1

O esboço do gradiente junto com a nossa curva nível no ponto dado, temos:

Até mais pessoal.

Resposta

  • ∇ f = 2 i - j ;
  • x 2 - y 2 = 1 .

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