Enunciado

Nos Exercícios 65-68, encontre os quatro primeiros termos diferentes de zero da série de Taylor gerada por f em x = a .

66. f x = 1 1 - x   e m   x = 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que a função é f x = 1 1 - x ​. A série de Taylor para a função f ( x ) em x = 2 é dada por

f x = f 2 + f ' 2 x - 2 + f ' ' 2 2 ! x - 2 2 + f ' ' ' 2 3 ! x - 2 3 + …

Agora, nós temos que encontrar f 2 ,   f ' 2 ,   f ' ' ( 2 ) e f ' ' ' ( 2 ) .

Passo 2

Diferenciando f ( x ) três vezes, de forma sucessiva, nós temos que

f x = 1 1 - x = 1 - x - 1

f ' x = 1 - x - 2

f ' ' x = 2 1 - x - 3

f ' ' ' x = 6 1 - x - 4

Agora, substituindo o x por - 1

f - 1 = - 1

f ' - 1 = 1

f ' ' - 1 = - 2

f ' ' ' - 1 = 6

Passo 3

Portanto, do exposto acima, os primeiros quatro termos diferentes de zero da série de Taylor gerados por f em x = 2 são

f x = 1 1 - x = f 2 + f ' 2 x - 2 + f ' ' 2 2 ! x - 2 2 + f ' ' ' 2 3 ! x - 2 3 + …

Com isso, nós temos que

f x = 1 1 - x = 1 + x - 2 - x - 2 2 + x - 2 3 - …

Resposta

f x = 1 1 - x = 1 + x - 2 - x - 2 2 + x - 2 3 - …

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