Enunciado

Suponha que você saiba que

f n 4 = - 1 n n ! 3 n ( n + 1 )

e que a série de Taylor de f centrada em 4 converge para f ( x ) para todo x no intervalo de convergência. Mostre que o polinômio de Taylor de grau 5 aproxima f ( 5 ) com erro menor que 0,0002 .

Passo 1

Para calcular o erro, usaríamos a fórmula R n = f x - T n , mas temos um problema aqui, consegue ver qual?

Nós não temos a função, então não conseguimos calcular o erro exato, mas podemos estima-lo por dois métodos, o primeiro é pela Desigualdade de Taylor e o segundo, podemos ver que o termo geral da série vai ter um - 1 n , então podemos usar o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas.

Particularmente, eu acho o segundo mais simples, então vamos usar ele.

Passo 2

O Teorema da Estimativa de Séries Alternadas que diz que se

f x = ∑ - 1 n b n

Então

R n x = f x - s n ≤ b n + 1

Mas o que isso quer dizer? Se tivermos uma série alternada, o erro de uma estimativa é menor que o próximo termo da série em módulo.

A nossa série é uma série de Taylor que é do formato

∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! x - a n

Nós temos f n ( 4 ) , então temos que a série é

∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 n ( n + 1 ) x - 4 n

Pra que precisamos da série? Não precisamos na verdade, só precisamos do termo geral para calcular o próximo termo após o quinto grau.

Passo 3

Então temos que ele quer calcular f ( 5 ) por um polinômio de Taylor de grau 5 , então temos que

R 5 x ≤ b 6

R 5 x ≤ x - 4 6 3 6 ( 7 )

Como estamos estimando f ( 5 )

R 5 5 ≤ 5 - 4 6 3 6 ( 7 )

R 5 5 ≤ 1 6 729 ⋅ 7

R 5 5 ≤ 1 5103

R 5 5 ≤ 0,0001959 …

E como 0,0001959 … < 0,0002 , o nosso erro R 5 5 ≤ 0,000 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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