Enunciado

Os Exercícios 25-28 fornecem as excentricidades e os vértices ou focos das hipérboles centradas na origem do plano xy. Em cada um dos casos, encontre a equação de forma padrão da hipérbole nas coordenadas cartesianas.

Excentricidade: 3

Vértices: ( 0 , ± 1 )

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo será reescrever a equação da hipérbole dada na sua forma reduzida, que tem o seguinte formato:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

A partir disso, teremos a excentricidade e os vértices. Para, determinarmos a as coordenadas dos eixos a e b   e construirmos a equação da hipérbole.

Simbora?

Passo 2

Como nos foi dado os vértices ( 0 , ± 1 ) , sabemos que os vértices da hipérbole são dados por ( 0 , ± a ) , portanto, temos que:

a = 1

Sendo a excentricidade da hipérbole dada por e = c a   , com os valores de e = 3 e a = 1 obtemos:

3 = c 1 ⟹ c = 3

Por fim, através do Teorema de Pitágoras, temos que:

c 2 = a 2 + b 2 ⇒ b 2 = 3 2 - 1 2 = 9 - 1 = 8

Sabemos que os focos são pontos no eixo y, logo, a equação da hipérbole terá o seguinte formato:

y 2 1 - x 2 8 = 1

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

y 2 1 - x 2 8 = 1 .

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