Enunciado

Nos Exercícios 49 e 50, mostre que os limites não existem.

lim x ,  y → 1 ,   - 1 ⁡ x y + 1 x 2 - y 2

Passo 1

Oi pessoal, espero que estejam ansiosos pra resolver este exercício comigo! Vamos lá.

Se f x ,   y → L 1 quando x ,   y → a ,   b ao longo do caminho C 1 e f x ,   y → L 2 quando x ,   y → a ,   b ao longo do caminho C 2 , com L 1 ≠ L 2 , então lim x ,  y → a ,  b ⁡ f x ,   y não existe.

Antes de fazermos nosso exercício, vou mostrar um exemplo de um limite que não existe:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2

Primeiro vamos aproximar de 0 ,   0 ao longo do eixo x , tomando y = 0 :

f x ,   0 = x 2 x 2 = 1

Então f x ,   y → 1 quando x ,   y → 0 ,   0 ao longo do eixo x . Agora vamos aproximar ao longo do eixo y , colocando x = 0 , assim:

f 0 ,   y = - y 2 y 2 = - 1

Então f x ,   y → - 1 quando x ,   y → 0 ,   0 ao longo do eixo y . Como tem dois limites diferentes ao longo de duas retas diferentes, o limite não existe.

Passo 2

Se consideramos x = 1 :

f 1 ,   y = 1 y + 1 1 2 - y 2 = y - 1 1 - y 2 = 1 1 - y

E para y = 1 :

f x ,   x = x 1 + 1 x 2 - 1 2 = x + 1 x 2 - 1 = 1 x - 1

Como tem dois limites diferentes ao longo de duas retas diferentes, o limite não existe.

Prontinho pessoal, até mais.

Resposta

Considerar os caminhos x = 1 e y = 1 .