Enunciado

Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções nos Exercícios 41-48 não têm limite quando x ,   y → 0 ,   0 .

f x ,   y = x y x y

Passo 1

Oi galerinha, vem comigo! Primeiramente vamos relembrar a definição para o teste dos dois caminhos para não existência de um limite:

Se f x ,   y → L 1 quando x ,   y → a ,   b ao longo do caminho C 1 e f x ,   y → L 2 quando x ,   y → a ,   b ao longo do caminho C 2 , com L 1 ≠ L 2 , então l im x ,  y → a ,  b ⁡ f x ,   y não existe.

Antes de fazermos nosso exercício, vou mostrar um exemplo de um limite que não existe:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2

Primeiro vamos aproximar de 0 ,   0 ao longo do eixo x , tomando y = 0 :

f x ,   0 = x 2 x 2 = 1

Então f x ,   y → 1 quando x ,   y → 0 ,   0 ao longo do eixo x . Agora vamos aproximar ao longo do eixo y , colocando x = 0 , assim:

f 0 ,   y = - y 2 y 2 = - 1

Então f x ,   y → - 1 quando x ,   y → 0 ,   0 ao longo do eixo y . Como tem dois limites diferentes ao longo de duas retas diferentes, o limite não existe.

Passo 2

Então, vamos para o nosso exercício, temos a seguinte função:

f x ,   y = x y x y

Vamos aproximar de 0 ,   0 ao longo da reta y = x , para todo x ≠ 0 :

f x ,   x = x ∙ x x ∙ x = 1

Então f x ,   y → 1 quando x ,   y → 0 ,   0 ao longo de y = x .

Passo 3

Agora vamos aproximar ao longo da reta y = - x , para todo x ≠ 0 :

f x ,   - x = x ∙ - x x ∙ - x = - x 2 x 2 = - 1

Então f x ,   y → - 1 quando x ,   y → 0 ,   0 ao longo de y = - x .

Como tem dois limites diferentes ao longo de duas retas diferentes, o limite não existe.

Esse exercício já acabou! Até mais pessoal.

Resposta

Considerar os caminhos ao longo de y = x e ao longo de y = - x .

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4. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 - y 4 x 2 + y 2