Enunciado

Nos Exercícios 1 e 2, uma partícula se move ao longo do eixo x sob a ação de uma força de f x N quando a partícula está a x m da origem. Ache o trabalho realizado quando a partícula se move do ponto onde x = a até o ponto onde x = b .

f x = 2 x + 1 2 ; a = 1 ;   b = 3

Passo 1

O exercício quer que encontremos o trabalho, e para isso usar a fórmula da integral já que aqui temos a força como uma função:

W = ∫ a b f x d x

A integral expressa o trabalho feito no movimento de um objeto de a a b por uma força f ( x ) , então nossa integral fica:

W = ∫ x = 1 3 2 x + 1 2   d x

Agora podemos resolvê-la, para isso vamos começar fazendo uma Integração por Substituição, onde nosso u será:

u = 2 x + 1

E o diferencial de u :

d u = 2   d x ∴ d x = d u 2

Podemos agora fazer a substituição do d x na nossa integral:

W = ∫ x = 1 3 u 2 d u 2

Pronto, já está com uma cara melhor.

Passo 2

Encontrando as primitivas da função aplicando a Regra da Potência:

W = 1 2 ∫ x = 1 3 u 2 d u = 1 2 ⋅ u 3 3   x = 1 3

W = u 3 6   x = 1 3

Como a integral é definida, não precisamos nos preocupar com o C.

Mas como nossos limites ainda estão em x lembre-se de trazer de volta a variável x :

W = ( 2 x + 1 ) 3 6   x = 1 3

Passo 3

Por último, basta fazer a subtração com os limites da integral:

W = ( 2 ⋅ 3 + 1 ) 3 6 - ( 2 ⋅ 1 + 1 ) 3 6 = 343 6 - 27 6

W = 316 6 = 158 3 J

Resposta

W = 158 3 J

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