Enunciado

Nos exercícios 79 e 80, use o teorema do “sanduíche” para determinar o limite.

79) lim x → 1 ⁡ x - 1 2 sen ⁡ 1 x - 1 3

Passo 1

O exercício solicita que se calcule o limite utilizando o teorema do confronto, também conhecido como teorema do “sanduíche”

Sabemos da trigonometria que:

- 1 ≤ s e n x ≤ 1

Portanto:

- 1 ≤ s e n 1 x - 1 3 ≤ 1

Multiplicando todos os membros por x - 1 2 ,   t e m o s :

- x - 1 2 ≤ x - 1 2 s e n 1 x - 1 3 ≤ x - 1 2

E como:

lim x → 1 ⁡ x - 1 2 = 0

Temos:

- 0 ≤ x - 1 2 s e n 1 x - 1 3 ≤ 0

0 ≤ x - 1 2 s e n 1 x - 1 3 ≤ 0

Logo pelo teorema do “sanduíche”

lim x → 1 ⁡ x - 1 2 sen ⁡ 1 x - 1 3 = 0

Resposta

lim x → 1 ⁡ x - 1 2 sen ⁡ 1 x - 1 3 = 0

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Empregue o Teorema do Confronto para mostrar que lim x → 0 ⁡ x 3 + x ² sen ⁡ π x = 0 ² Ilustre, fazendo os gráficos, na mesma tela, das funções f , g e h (como no Teorema do Confronto).
Se f x = x 2s exér a c i o n a l 0 s exéi r r a c i o n a l é é demonstre que lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 0 .
Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê. lim x → - 4 - ⁡ x + 4 x + 4
Prove: lim x → p ⁡ f x = L ⇒ lim x → p ⁡ f x = L (Sugestão: verifique que f x - L ≤ f x - L e aplique o teorema do confronto.)