Enunciado

Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre

lim x → 1 ⁡ g ( x )

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ g ( x )

Para isso, a única coisa que sabemos é que:

2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2

Podemos dizer que f x = 2 x e h x = x 4 - x 2 + 2 , assim já temos uma das condições do Teorema do Confronto:

2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 ⇒ f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x )

Lembrando que o teorema do confronto diz que:

Sejam f x ,   g x e   h ( x ) , funções reais definidas no dominio D   ∈ R e seja a um ponto dentro desse dominio, se:

g x ≤ f x ≤ h ( x )

E

lim x → a ⁡ g x = lim x → a ⁡ h x = L

Então

lim x → a ⁡ h x = L

Vamos agora testar a próxima condição, se:

lim x → 1 ⁡ 2 x = lim x → 1 ⁡ x 4 - x 2 + 2

Passo 2

Vemos que

lim x → 1 ⁡ 2 x = 2 1 = 2

e que

lim x → 1 ⁡ x 4 - x 2 + 2 = 1 4 - 1 2 + 2 = 1 - 1 + 2 = 2

Assim,

lim x → 1 ⁡ 2 x = lim x → 1 ⁡ x 4 - x 2 + 2 = 2

Então, pelo Teorema do Confronto podemos concluir que:

lim x → 1 ⁡ g ( x ) = 2

Resposta

Demonstração

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.
Sejam a , b e c reais fixos e suponha que, para todo x , a + b x + c x 2 ≤ x 3 . Prove que a = b = c = 0 .
Calcule, caso existe, underset(x - 0)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0) em que f é dada porf (x) = {[[x^2 sen (1)/(x) s e x != 0],[0 s e x = 0]])
Seja f uma função definida em R tal que para todo x ≠ 1 , - x 2 + 3 x ≤ f xx 2 - 1 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.