Enunciado

Se

f x = x 2           s e   x   é   r a c i o n a l 0                 s e   x   é   i r r a c i o n a l

demonstre que lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 0 .

Passo 1

E aí?! Aqui temos:

f x = x 2           s e   x   é   r a c i o n a l 0                 s e   x   é   i r r a c i o n a l

E temos que provar que:

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 0

Pra resolver esse problema a gente precisa ter uma sacada. Repara que f x vai sempre ficar entre 0 e x 2 ?!

Beleza, com isso em mente a gente vai usar o teorema do confronto que diz que. Se:

g x ≤ f x ≤ h x

Quando x esta próximo de a e:

lim x → a ⁡ g x = lim x → a ⁡ h x = L

Então:

lim x → a ⁡ f x = L

Aqui a gente pode dizer que:

g x = 0  

h x = 0

Já se ligou onde isso vai dar?!

Passo 2

Aplicando o Teorema do Confronto, vamos ter que:

g x ≤ f x ≤ h x

0 ≤ f x ≤ x 2

Temos que:

lim x → 0 ⁡ g x = lim x → 0 ⁡ 0 = 0

lim x → 0 ⁡ h x = lim x → 0 ⁡ x 2 = 0

Então, pelo teorema do confronto:

lim x → 0 ⁡ f x = 0

Provamoos!

Resposta

Demonstração.

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Se 4 x - 9 = f (x) = x^2 - 4 x + 7 para x = 0 , encontre underset(x - 4)(l i m) f (x) .
Demonstre que underset(x - 0)(l i m) x^4 . cos (2)/(x) = 0 .
Demonstre que underset(x - 0^+)(l i m) sqrt(x) * e^(sen (pi)/(x)) = 0 .
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Calcule, caso existe, underset(x - 0)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0) em que f é dada porf (x) = {[[x sen (1)/(x) s e x != 0],[0 s e x = 0]])