Enunciado

Nos Exercícios 15-18, utilize séries para estimar os valores das integrais com um erro de magnitude menor que 10 - 3 . (A seção de respostas apresenta os valores das integrais arredondados para cinco

casas decimais.).

∫ 0 0,2 s e n   x 2   d x

Passo 1

Falaaa meus queridos! Tudo bom com vocês? Eu espero que sim! Vamos lá detonar mais uma questãozinha!

Sabe-se, a partir da parte de teoria do presente livro que “As séries de Taylor podem ser utilizadas para expressar integrais não elementares em termos de séries.”

O que vamos fazer é usar uma série de Taylor conhecida que seja próxima da integral trazida no enunciado para sabermos seus termos, e assim calcularmos o que foi pedido.

Passo 2

Nesse caso, a partir da série para s e n   x que conhecemos, podemos substituir x 2 por x para obtermos os seguintes termos:

s e n   x 2 = x 2 - x 6 3 ! + x 10 5 ! - x 14 7 ! + x 18 9 ! - …

Portanto, vamos ter que:

∫ 0 0,2 s e n   x 2   d x = ∫ 0 0,2 x 2 - x 6 3 ! + x 10 5 ! - x 14 7 ! + x 18 9 ! - … d x

Ou seja, temos a seguinte forma de solucionar:

∫ 0 0,2 s e n   x 2   d x = x 3 3 - x 7 7 * 3 ! + … 0 0,2

Por sua vez, simplificando matematicamente, podemos dizer que:

∫ 0 0,2 s e n   x 2   d x ≈ x 3 3 0 0,2

Ou melhor:

∫ 0 0,2 s e n   x 2   d x ≈ 0,00267

E o erro, para o caso, vai ser o seguinte:

| E | ≤ 0.2 7 7 * 3 ! ≈ 0,00 00003

Passo 3

Ou seja, temos a seguinte forma de solucionar:

∫ 0 0,2 s e n   x 2   d x = x 3 3 - x 7 7 * 3 ! + … 0 0,2

Por sua vez, simplificando matematicamente, podemos dizer que:

∫ 0 0,2 s e n   x 2   d x ≈ x 3 3 0 0,2

Ou melhor:

∫ 0 0,2 s e n   x 2   d x ≈ 0,00267

E o erro, para o caso, vai ser o seguinte:

| E | ≤ 0.2 7 7 * 3 ! ≈ 0,0000003

Resposta

| E | ≤ 0.2 7 7 * 3 ! ≈ 0,0000003

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!

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