Encontre o raio de convergência da série

∑ n = 1 ∞ 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ … ∙ 3 n - 1 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ 2 n x n

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Seja a série,

∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ … ∙ 3 n - 1 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ 2 n x n

Vamos aplicar o teste da razão para série ∑ n = 1 ∞ u n , assim, temos que:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = lim n → ∞ ⁡ 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ … ∙ 3 n - 1 ( 3 n + 2 ) 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ 2 n ( 2 n + 2 ) x n + 1 ∙ 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ 2 n 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ … ∙ 3 n - 1 x n

Eliminando os termos comuns,

lim n → ∞ ⁡ ( 3 n + 2 ) x ( 2 n + 2 ) = x lim n → ∞ ⁡ 3 n + 2 2 n + 2 =   x ∙ 3 2 =   3 2 x  

Sendo assim, a série converge absolutamente para 3 2 x < 1   ⟹ x < 2 3 . Logo, o raio de convergência da série é 2 3 .

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

O raio de convergência da série é 2 3 .

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