Enunciado

A série

sec ⁡ x = 1 + x 2 2 + 5 24 x 4 + 61 720 x 6 + 277 8064 x 8 + …

Converge para sec ⁡ x para - π 2 < x < π 2 .

a. Encontre os cinco primeiros termos de uma série de potências para a função ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x . Para quais valores de x a série deve convergir?

b. Encontre os quatro primeiros termos de uma série para sec ⁡ x ∙ tg ⁡ x . Para quais valores de x a série deve convergir?

c. Confira seu resultado no item (b) multiplicando a série para sec ⁡ x pela série dada para tg ⁡ x no Exercício 53.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Integrando a série dada em ambos os lados em relação a x , obtemos

∫ sec ⁡ x d x = ∫ 1 + x 2 2 + 5 24 x 4 + 61 720 x 6 + 277 8064 x 8 + … d x

Expandindo as integrais do lado direito, obtemos que

∫ sec ⁡ x d x = ∫ d x + ∫ x 2 2 d x + ∫ 5 x 4 24 d x + ∫ 61 x 6 720 d x + ∫ 2 77 x 8 8064 d x + …

Que nos fornece o seguinte resultado

ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x = x + x 3 6 + x 5 24 + 61 x 7 5040 + 277 x 9 72576 + … + C

Onde C é a constante de integração. Agora, nós colocamos x = 0 nos dois lados, portanto, nós temos que

ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x = x + x 3 6 + x 5 24 + 61 x 7 5040 + 277 x 9 72576 + …

Esta série converge no intervalo - π 2 < x < π 2 .

Passo 2

B - Diferenciando os lados da série em relação a x , obtemos

d d x sec ⁡ x = d d x 1 + x 2 2 + 5 24 x 4 + 61 720 x 6 + 277 8064 x 8 + …

Com isso, nós obtemos que

sec ⁡ x tg ⁡ x = x + 5 x 3 6 + 61 x 5 120 + 277 x 7 1008 + …

Esta série também converge para - π 2 < x < π 2 .

Passo 3

C – Agora, nós vamos multiplicar as duas séries sec ⁡ x e tg ⁡ x para verificar se dá o mesmo resultado da letra b, com isso,

sec ⁡ x ∙ tg ⁡ x = 1 + x 2 2 + 5 24 x 4 + 61 720 x 6 + 277 8064 x 8 + … x + x 3 3 + 2 x 5 15 + 17 x 7 315 + 62 x 9 2835 + …

Desenvolvendo os termos,

sec ⁡ x ∙ tg ⁡ x = x + 1 3 + 1 2 x 3 + 2 15 + 1 6 + 5 24 x 5 + 17 315 + 1 15 + 5 72 + 61 720 x 7 + …

Portanto, nós obtemos o seguinte resultado

sec ⁡ x ∙ tg ⁡ x = x + 5 x 3 6 + 61 x 5 120 + 277 x 7 1008 + …

Esta série converge para - π 2 < x < π 2 .

Resposta

A -   ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x = x + x 3 6 + x 5 24 + 61 x 7 5040 + 277 x 9 72576 + …

B -   sec ⁡ x ∙ tg ⁡ x = x + 5 x 3 6 + 61 x 5 120 + 277 x 7 1008 + …

C -   sec ⁡ x ∙ tg ⁡ x = x + 5 x 3 6 + 61 x 5 120 + 277 x 7 1008 + …

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