Enunciado

Nos Exercícios 73-78:

a. Utilize séries de potências para avaliar o limite.

b. Em seguida, utilize um gráfico para provar seus cálculos.

77. lim z → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ z ln ⁡ 1 - z + sem ⁡ z

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Usando séries de potência, vamos calcular o limite dado

lim z → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ z ln ⁡ 1 - z + sem ⁡ z

Fazendo a expansão do limite, temos que

lim z → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ z ln ⁡ 1 - z + se n ⁡ z = lim z → 0 ⁡ 1 - 1 - z 2 + z 4 3 - … - z - z 2 2 - z 3 3 - … + z - z 3 3 ! + z 5 5 ! - …

Fazendo as devidas manipulações, nós temos que

lim z → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ z ln ⁡ 1 - z + se n ⁡ z = lim z → 0 ⁡ z 2 - z 4 3 + … - z 2 2 - z 3 3 - z 4 4 - … = lim z → 0 ⁡ z 2 1 - z 2 3 + … z 2 - 1 2 - z 3 - z 2 4 - …

Nesse caso, nós podemos fazer a substituição direta

lim z → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ z ln ⁡ 1 - z + se n ⁡ z = 1 - 0 + … - 1 2 - 0 - 0 - …

Portanto, nós temos que

lim z → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ z ln ⁡ 1 - z + sen ⁡ z = - 2

Passo 2

Pelo gráfico, nós temos que

Realmente tende para - 2 .

Resposta

Respondido acima!

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