Enunciado

A série

tg ⁡ x = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + 17 x 7 315 + 62 x 9 2835 + …

Converge para tg ⁡ x para - π 2 < x < π 2 .

a. Encontre os cinco primeiros termos da série para ln ⁡ sec ⁡ x .Para quais valores de x a série deve convergir?

b. Encontre os cinco primeiros termos da série para se c 2 ⁡ x . Para quais valores de x a série deve convergir?

c. Confira seu resultado no item (b) elevando ao quadrado a série dada para sec ⁡ x no Exercício 54.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Para esse caso, vamos integrar a série nos dois lados da igualdade com respeito a x , obtendo que

∫ tg ⁡ x = ∫ x + x 3 3 + 2 x 5 15 + 17 x 7 315 + 62 x 9 2835 + … d x

Expandindo as integrais do lado direito, obtemos que

∫ tg ⁡ x = ∫ x d x + ∫ x 3 3 d x + ∫ 2 x 5 15 d x + ∫ 17 x 7 315 d x + ∫ 62 x 9 2835 d x + …

Com isso, temos o seguinte resultado

ln ⁡ sec ⁡ x = x 2 2 + x 4 12 + x 6 45 + 17 x 8 2520 + 31 x 10 14175 + … + C

Do teorema 21 nós sabemos que a série acima converge no seguinte intervalo - π 2 < x < π 2 .

Passo 2

B - Diferenciamos a série dada de ambos os lados em relação a x , obtemos:

d d x tg ⁡ x = d d x x + x 3 3 + 2 x 5 15 + 17 x 7 315 + 62 x 9 2835 + …

Com isso, obtemos que

sec 2 ⁡ x = 1 + x 2 + 2 x 4 3 + 17 x 6 45 + 62 x 8 315 + …

Do teorema 21 nós sabemos que a série acima converge no seguinte intervalo - π 2 < x < π 2 .

Passo 3

C – Para o intervalo - π 2 < x < π 2 , nós temos a seguinte situação

sec 2 ⁡ x = sec ⁡ x ∙ sec ⁡ x

Expandindo para séries, obtemos que

sec 2 ⁡ x = 1 + x 2 2 + 5 x 4 24 + 61 x 6 720 + … 1 + x 2 2 + 5 x 4 24 + 61 x 6 720 + …

Que nos dá o seguinte resultado

sec 2 ⁡ x = 1 + x 2 + 2 x 4 3 + 17 x 6 45 + 62 x 8 315 + …

Convergindo quando - π 2 < x < π 2 .

Resposta

A - ln ⁡ sec ⁡ x = x 2 2 + x 4 12 + x 6 45 + 17 x 8 2520 + 31 x 10 14175 + … + C

B -   sec 2 ⁡ x = 1 + x 2 + 2 x 4 3 + 17 x 6 45 + 62 x 8 315 + …

C -   sec 2 ⁡ x = 1 + x 2 + 2 x 4 3 + 17 x 6 45 + 62 x 8 315 + …

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