Enunciado

Nos Exercícios 9-16, utilize o teste de comparação no limite para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ 2 n + 3 5 n + 4 n

Passo 1

Vamos comparar com um somatório convergente ∑ n = 1 ∞ 2 5 n .

Pelo teste da comparação limite:

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 3 5 n + 4 n 2 5 n = l i m n → ∞ 10 n + 15 10 n + 8 n

Vamos elevar e ao logaritmo natural do fator limite para derrubar essa potência n:

exp ⁡ l i m n → ∞ ln ⁡ 10 n + 15 10 n + 8 n = exp ⁡ l i m n → ∞ nln ⁡ 10 n + 15 10 n + 8

E agora vamos fazer alguns algebrismos para resolver esse limite vem comigo,

= exp ⁡ l i m n → ∞ ln ⁡ d d n 10 n + 15 10 n + 8 d d n 1 n = exp ⁡ l i m n → ∞   10 10 n + 15 - 10 10 n + 8 - 1 n 2

= exp ⁡ l i m n → ∞ 70 n 2 10 n + 15 10 n + 8 = exp ⁡ l i m n → ∞ d d n 70 n 2 d d n 100 n 2 + 230 n + 120

= exp ⁡ l i m n → ∞ 140 n 200 n + 230 ⋅ 1 140 n 1 140 n = exp ⁡ l i m n → ∞ 1 20 14 + 23 14 n

⇒ exp ⁡ 1 20 14 = e 7 10

Portanto, pelo teste de comparação do limite, a série converge pois a divisão das séries é maior do que 1.

Resposta

Converge

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