Nos Exercícios 51-54, verifique que w_x_y = w_y_x .A fórmula MathML fornecida contém apenas um espaço em branco, portanto não há uma fórmula matemática a ser reescrita. Se a ideia é representar um espaço ou uma ausência de fórmula, não há nada a ser transcrito. Se houver um erro na entrada e você está aguardando que uma fórmula específica seja escrita, por favor, verifique a entrada.

Passo 1

Nesta tarefa, somos essencialmente solicitados a verificar se o teorema das derivadas parciais mistas é válido para a função dada w x , y . O teorema afirma que, se ambas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contínuas, então as derivadas parciais mistas w x y

e w y x são os mesmos. O procedimento que usaremos aqui é direto, primeiro encontraremos   w y x e então encontraremos w x y . Depois de encontrar ambas as expressões, vamos compará-las para verificar o resultado. Nesta tarefa, somos essencialmente solicitados a verificar se o teorema das derivadas parciais mistas é válido para a função dada w x , y . O teorema afirma que, se ambas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contínuas, então as derivadas parciais mistas w x y e w y x são os mesmos. O procedimento que usaremos aqui é direto, primeiro encontraremos w y x e então encontraremos w x y . Depois de encontrar as duas expressões, vamos compará-las para verificar o resultado.

Passo 2

w x , y = e x + xln ⁡ y + yln ⁡ x ∂ w ∂ x = e x + ln ⁡ y + y x ∂ 2 w ∂ y ∂ x = 1 y + 1 x ∂ w ∂ y = x y + ln ⁡ x ∂ 2 w ∂ x ∂ y = 1 y + 1 x

No entanto, agora podemos ver que as derivadas parciais mistas são as mesmas que verificam a afirmação.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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