Enunciado

Nos Exercícios 51-54, verifique que w_x y = w_y x .

Passo 1

Nesta tarefa, somos essencialmente solicitados a verificar se o teorema das derivadas parciais mistas é válido para a função dada w (x , y) . O teorema afirma que, se ambas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contínuas, então as derivadas parciais mistas w_x y

e w_{y x} são os mesmos. O procedimento que usaremos aqui é direto, primeiro encontraremos w_{y x} e então encontraremos w_{x y} . Depois de encontrar ambas as expressões, vamos compará-las para verificar o resultado. Nesta tarefa, somos essencialmente solicitados a verificar se o teorema das derivadas parciais mistas é válido para a função dada w_x , y . O teorema afirma que, se ambas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contínuas, então as derivadas parciais mistas w_{x y} e w_{y x} são os mesmos. O procedimento que usaremos aqui é direto, primeiro encontraremos w_{y x} e então encontraremos w_{x y} . Depois de encontrar as duas expressões, vamos compará-las para verificar o resultado.

Passo 2

[[w (x , y) = e^x + xln y + yln x],[(del w)/(del x) = e^x + ln y + (y)/(x)],[(del^2 w)/(del y del x) = (1)/(y) + (1)/(x)],[(del w)/(del y) = (x)/(y) + ln x],[(del^2 w)/(del x del y) = (1)/(y) + (1)/(x)]]

No entanto, agora podemos ver que as derivadas parciais mistas são as mesmas que verificam a afirmação.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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