Enunciado

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Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é derivável em   x 1 .

16. f x = - x 2 / 3   s e       x ≤ 0 x 2 / 3     s e   3 < x                 x 1 = 0

Letra (b)

Passo 1

Para determinar se f ( x ) é continua em um ponto deve-se atender a 3 pré-requisitos, ou seja , para uma função ser continua em x0:

  1. f ( x 0 ) tem que existir;
  2. lim x → x 0 ⁡ f x   tem que existir;
  3. lim x → x 0 ⁡ f x   = f ( x 0 ) .

Assim, deve-se verificar cada um dos itens ácima para dizer se f x é continua em x 0 .

Passo 2

Ao substituir x 0   = 0 na função, percebemos que a expressão onde vamos substituir esse valor é a primeira função, pois a mesma está definida para x 0   = 0 . Com isso temos que f   0 = 0 .

Passo 3

Para verificar que um limite existe devemos lembrar do conceito de limites laterais, ou seja , lim x → x 0 ⁡ f x   existe se lim x → x 0 + ⁡ f x   = k = lim x → x 0 - ⁡ f x   .

Assim, temos que :

lim x → x 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ x 2 / 3 = 0

lim x → x 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ - x 2 / 3 = 0

Com isso podemos afimar que lim x → x 0 ⁡ f x   existe e é igual a 0.

Passo 4

Verificando a ultima condição , temos:

lim x → 0 ⁡ f x = 0 = f ( 0 )  

Com isso, como os 3 itens necessários foram atendidos; pode-se afirmar que f   ( x ) é continua em x 0   = 0 .

Resposta

f   ( x ) é continua em x 0   =   0 .

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