Enunciado

Existe algum valor de b que torne

f x = x + b ,     x < 0 cos ⁡ x ,     x ≥ 0

contínua em x = 0 ? Derivável em x = 0 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Esta é uma questão que contém duas perguntas diferentes sobre uma mesma resposta. E, a resposta para ambas as perguntas, não necessariamente são a mesma. Antes de descobrirmos se a função pode ser contínua ou derivável no ponto x = 0 , precisamos discutir o que a função precisa satisfazer para ser derivável ou contínua.

Para uma função ser contínua em um ponto x = x 0 , ela deve satisfazer dois critérios:

  1. f ( x 0 ) existe;
  2. lim x → x 0 ⁡ f ( x ) = f ( x 0 )

Além disto, para um limite existir, os limites laterais devem ser iguais entre si. Isto é:

lim x → x 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → x 0 - ⁡ f ( x )

Agora, para uma função ser diferenciável, ela deve ser contínua no ponto e, as derivadas laterais devem ser iguais entre si. Isto é:

d d x f x x = x 0 - = d d x f x x = x 0 +

Vamos então para a nossa questão!

Passo 2

Vamos determinar inicialmente se a função pode ser contínua em x = 0 , pois, caso o mesmo não possa, a função não será derivável neste ponto. Portanto, vamos começar checando se f ( x 0 ) existe.

Ao olhar a nossa função definida por partes, vemos que, para x ≥ 0 , a função é regida por cos ⁡ x . Portanto, f ( 0 ) existe e é dado por:

f 0 = cos ⁡ 0 = 1

Passo 3

Vamos descobrir se o limite existe. Para isto, checamos os limites laterais. Portanto, temos:

lim x → x 0 - ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ ( x + b ) = b

lim x → x 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 + ⁡ ( cos ⁡ x ) = 1

Portanto, para que o limite existe, os limites laterais são iguais. Logo, temos:

b = 1

Passo 4

Como o limite existe e é igual a 1, e o valor da função no ponto x = 0 também é igual a 1, podemos afirmar que a função será contínua no ponto quando b = 1 .

Passo 5

Para a função ser derivável, ela deve ser contínua. Portanto, vamos assumir b = 1 e checar as derivadas laterais, para ver se as mesmas possuem o mesmo valor. Logo, temos:

d d x f x x = 0 - = d d x ( x + 1 ) x = 0 - = 1

d d x f x x = 0 + = d d x ( cos ⁡ x ) x = 0 + = s e n   0 = 0

Portanto, como as derivadas laterais são diferentes, a função não é derivável em x = 0 .

Resposta

Para a função ser contínua, b = 1 . Além disto, ela nunca será derivável em x = 0 .

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