Enunciado

Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é derivável em   x 1 .

19. f x = 3 x 2   s e       x ≤ 2 x 3     s e   2 < x                 x 1 = 2

Letra (b)

Passo 1

Para determinar se f ( x ) é continua em um ponto deve-se atender a 3 pré-requisitos, ou seja , para uma função ser continua em x0:

  1. f ( x 0 ) tem que existir;
  2. lim x → x 0 ⁡ f x   tem que existir;
  3. lim x → x 0 ⁡ f x   = f ( x 0 ) .

Assim, deve-se verificar cada um dos itens ácima para dizer se f x é continua em x 0 .

Passo 2

Ao substituir x 0   = 2 na função, percebemos que a expressão onde vamos substituir esse valor é a primeira função, pois a mesma está definida para x 0   = 2 . Com isso temos que f   2 = 12 .

Passo 3

Para verificar que um limite existe devemos lembrar do conceito de limites laterais, ou seja , lim x → x 0 ⁡ f x   existe se lim x → x 0 + ⁡ f x   = k = lim x → x 0 - ⁡ f x   .

Assim, temos que :

lim x → x 0 + ⁡ f x = lim x → 2 + ⁡ x 3 = 8

lim x → x 0 - ⁡ f x = lim x → 2 - ⁡ 3 x 2 = 1 2

Com isso podemos afimar que lim x → x 0 ⁡ f x   não existe.

Passo 4

Verificando a ultima condição , temos:

lim x → 0 ⁡ f x = ∄  

Com isso, como os 3 itens necessários não foram atendidos; pode-se afirmar que f (x) é não continua em x0 = 2.

Resposta

f (x) não é continua em x0 = 2.

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