Enunciado

Explique por que a equação cos ⁡ x = x possui pelo menos uma solução.

Passo 1

Observa comigo a seguinte manipulação:

cos ⁡ x = x

cos ⁡ x - x = 0

Bem de boa, né?

Agora presta atenção, se x assumir - π 2 a gente fica com

cos ⁡ ( - π 2 )   + π 2

Que estará sempre acima de zero, certo?

Passo 2

O mesmo procedimento a gente faz pra o π 2

cos ⁡ x - x = 0

cos ⁡ ( π 2 ) - π 2

Observa agora que nesse caso sempre teremos um valor negativo!

Passo 3

Ou seja, pelo teorema do valor intermediário podemos afirma que nesse intervalo vai existir pelo menos uma raiz, certo? É justamente oque o enunciado pede pra gente provar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Investigue a continuidade nos pontos indicados: f x = x 2 - 4 x - 2 ,x ≠ 2 0 ,x = 2e mx = 2
Determine, se existirem, os valores de x ∈ D f , nos quais a função f x não é contínua. f x = cos ⁡ x x + π
Calcule p de modo que as funções abaixo sejam contínuas. f x = x 2 + p x + 2 , x ≠ 3 3, x = 3
Determine, se existirem, os valores de x ∈ D f , nos quais a função f x não é contínua. f x = x 2 - 3 x + 4 x - 1 ,x ≠ 1 1 , x = 1
Sejam f , g e h funções tais que, para todos x , f x ≤ g x ≤ h x . Se f e h são contínuas no ponto x = a e f a = g a = h a , prove que g é contínua no ponto a .