Enunciado

  1. Identifique os valores de equilíbrio. Quais são estáveis e quais são instáveis?
  2. Construa a reta de fase. Identifique os sinais de y' e y".
  3. Esboce várias curvas integrais.

y ' = y ,     y > 0

Passo 1

  1. Os valores de equilíbrio são onde a derivada é zero. Nesse caso, seria y = 0 , mas como temos a restrição de y > 0 , não há pontos de equilíbrio.

Passo 2

  1. Vamos calcular a derivada segunda:
  2. y ' ' = d d x y ' = d d x ( y )

    y ' ' = 1 2 y y '

    y ' ' = 1 2 y y = 1 2

    Ou seja, a derivada vai ser sempre positiva.

    A nossa reta de fases nesse caso é muito simples:

    Passo 3

  3. Para esboçar as curvas integrais, precisamos descobrir a integral.

Precisamos de uma solução da equação diferencial dada:

y ' = y → d y d x = y

d y y = d x

Integrando os dois lados...

2 y = x + C

y = x + C 2

y = x + C 2   2

Sendo a família de integrais. Para esboçarmos as curvas integrais, é só marcarmos as retas de fase e alternamos o valor de C na integral.

Usando alguns valores, como C = 0 ,   C = 1 , C = - 1 ... Temos as curvas integrais:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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