Enunciado

Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto.

f x , y = e - x y cos ⁡ y             ( π , 0 )

Passo 1

Show de bola, galera. Pra resolver esse tipo de questão não tem mistério.

Basicamente precisamos avaliar se as derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem e são contínuas num dado ponto.

Então vamos lá....Para o nosso caso, temos:

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x e - x y cos ⁡ y = - y ∙ e - x y cos ⁡ y →       N o   p o n t o   ( π , 0 )       ∂ f ∂ x ( π , 0 ) = 0

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y e - x y cos ⁡ y = - e - x y x cos ⁡ y + sen ⁡ y →       N o   p o n t o   π , 0     ∂ f ∂ y π , 0 = - π

Percebemos que as nossas derivadas existem para o nosso ponto de interesse ( π , 0 ) . Além disso, percebemos que as nossas derivadas parciais são contínuas para ∀ x , y ∈ R 2 . Desta forma, concluímos que a nossa função é diferenciável no ponto ( π , 0 ) .

Passo 2

Beleza...Agora só falta calcular a linearização da função ao redor do ponto de interesse.

Para calcularmos a linearização ao redor do ponto ( π , 0 ) , basta fazer:

L x , y = f ( π , 0 ) ⏟ 1 + ∂ f ∂ x ( π , 0 ) ⏟ 0 ∙ x - π + ∂ f ∂ y π , 0 ⏟ - π ∙ y - 0

L x , y = 1 - π y

Resposta

L x , y = 1 - π y

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que a função é diferenciável achando valores ε 1 e ε 2 que satisfaçam à Definição 7. f x , y = x y - 5 y 2
Demonstre que, sef é uma função de duas variáveis diferenciável em ( a , b ) , então f é contínua em ( a , b ) . Sugestão: Mostre que lim Δ x , Δ y → 0,0 ⁡ f ( a + Δ x , b + Δ y ) = f ( a , b )
Mostre que a função é diferenciável achando valores ε 1 e ε 2 que satisfaçam à Definição 7. f x , y = x 2 + y 2
(a) A função corresponde ao gráfico da Figura 4. Mostre que f x ( 0,0 ) e f y ( 0,0 ) existem, mas f não é diferenciável em ( 0,0 ) . [Sugestão: Utilize o resultado do Exercício 45.](b) Explique por q
Mostre que, se z = f x ,y for diferenciável em x 0 = x 0 ,y 0 , então lim x - x 0 ⁡ f x - f x 0 - ∇ f x 0 ∙ x - x 0 x - x 0 = 0