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Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto.

f x , y = e - x y cos ⁡ y             ( π , 0 )

Passo 1

Show de bola, galera. Pra resolver esse tipo de questão não tem mistério.

Basicamente precisamos avaliar se as derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem e são contínuas num dado ponto.

Então vamos lá....Para o nosso caso, temos:

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x e - x y cos ⁡ y = - y ∙ e - x y cos ⁡ y →       N o   p o n t o   ( π , 0 )       ∂ f ∂ x ( π , 0 ) = 0

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y e - x y cos ⁡ y = - e - x y x cos ⁡ y + sen ⁡ y →       N o   p o n t o   π , 0     ∂ f ∂ y π , 0 = - π

Percebemos que as nossas derivadas existem para o nosso ponto de interesse ( π , 0 ) . Além disso, percebemos que as nossas derivadas parciais são contínuas para ∀ x , y ∈ R 2 . Desta forma, concluímos que a nossa função é diferenciável no ponto ( π , 0 ) .

Passo 2

Beleza...Agora só falta calcular a linearização da função ao redor do ponto de interesse.

Para calcularmos a linearização ao redor do ponto ( π , 0 ) , basta fazer:

L x , y = f ( π , 0 ) ⏟ 1 + ∂ f ∂ x ( π , 0 ) ⏟ 0 ∙ x - π + ∂ f ∂ y π , 0 ⏟ - π ∙ y - 0

L x , y = 1 - π y

Resposta

L x , y = 1 - π y

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