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Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 2 7ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 7ª Edição - James Stewart - 14.4 - 12

Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto.

f x , y = x 3 y 4             ( 1,1 )

Passo 1

Show de bola, galera. Pra resolver esse tipo de questão não tem mistério.

Basicamente precisamos avaliar se as derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem e são contínuas num dado ponto.

Então vamos lá....Para o nosso caso, temos:

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 3 y 4 = 3 x 2 y 4 →       N o   p o n t o   1,1       ∂ f ∂ x 1,1 = 3

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x 3 y 4 = 4 x 3 y 3 →       N o   p o n t o   1,1       ∂ f ∂ y 1,1 = 4

Percebemos que as nossas derivadas existem para o nosso ponto de interesse ( 1,1 ) . Além disso, percebemos que as nossas derivadas parciais são contínuas para ∀ x , y ∈ R 2 . Desta forma, concluímos que a nossa função é diferenciável no ponto 1,1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza...Agora só falta calcular a linearização da função ao redor do ponto de interesse.

Para calcularmos a linearização ao redor do ponto 1,1 , basta fazer:

L x , y = f 1,1 ⏟ 1 + ∂ f ∂ x 1,1 ⏟ 3 ∙ x - 1 + ∂ f ∂ y 1,1 ⏟ 4 ∙ y - 1

L x , y = 1 + 3 x - 1 + 4 y - 1 ∴ L x , y = 3 x + 4 y - 6

Resposta

L x , y = 3 x + 4 y - 6

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