Enunciado

Explique porque a função é descontínua no número dado a . Desenho o gráfico da função.

f x = cos ⁡ x ,       s e   x < 0 0 ,       s e   x = 0 1 - x 2 ,       s e   x > 0

Passo 1

E aí, tudo bem? Nesse problema temos a seguinte função:

f x = cos ⁡ x ,       s e   x < 0 0 ,       s e   x = 0 1 - x 2 ,       s e   x > 0

E já de cara o enunciado diz que a função não é contínua no ponto a = 0 e a nossa missão aqui é dizer o motivo! Depois a gente vai desenhar essa função e isso vai nos mostrar visualmente que a função realmente não é contínua.

Só relembrando, uma função contínua é aquela que você consegue desenhar sem tirar o lápis do papel, mas aqui a gente vai usar a definição de limites laterais!

Se nos aproximamos pela direita e pela esquerda de um mesmo ponto, devemos chegar ao mesmo valor pra dizer que a nossa função é contínua. Em matemátiques temos:

lim x → a + ⁡ f x = lim x → a - ⁡ f x = L

Além disso precisamos que:

f x = L

Olhando pra a nossa função vimos que temos um ponto de “colagem” em x = 0 e é justamente esse ponto que vamos investigar!

Passo 2

Iremos calcular os limites laterais de f ( x ) . Começando pela esquerda, temos x < 0 , então:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ cos ⁡ x

Temos que:

cos ⁡ 0 = 1

Então:

lim x → 0 - ⁡ f x = 1

Agora pela direita, temos x > 0 , então:

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ 1 - x 2 = 1 - 0

lim x → 0 + ⁡ f x = 1

Os limites laterais são iguais! Porém temos:

f 0 = 0  

O que é diferente dos limites laterais que a gente encontrou, portanto provamos que a nossa função não é contínua nesse ponto!

Passo 3

Agora vamos desenhar o gráfico. Lembrando da nossa função:

f x = cos ⁡ x ,       s e   x < 0 0 ,       s e   x = 0 1 - x 2 ,       s e   x > 0

Podemos fazer uma tabelinha, pra x < 0 :

Não se assuste com o x = 0 ali na tabelinha. A função não é essa nesse ponto mas ela tende a y = 1 . Então podemos desenhar até pertinho, mas não no ponto em si. Agora pra x > 1

De novo, só colocamos o ponto x = 0 pra prever o comportamento da função!

Juntando as informações e colocando no gráfico temos:

Como esperávamos, pra desenhar esse gráfico temos que “tirar o lápis do papel” quando chegamos em x = 0 . Portanto a função não é contínua!

Resposta

Demonstração e:

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