Enunciado

Calcule underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f (x))/(h) sendo f dada por

f (x) = (1)/(x)

Passo 1

Para calcular esse limite vamos primeiro substituir a função f (x) = (1)/(x) no limite:

underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f (x))/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((1)/(x + h) - (1)/(x))/(h)

Podemos pensar em calcular esse limite apenas substituindo o valor 0 na expressão, entretando, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

(0)/(0)

Vamos então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, só analisar um pouco e vamos descobrir, calma que vai da certo!

Passo 2

Vamos tentar manipular o numerador, tirando o mínimo:

underset(h -> 0)(lim) ((1)/(x + h) - (1)/(x))/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((x - (x + h))/(x (x + h)))/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((x - x - h)/(x (x + h)))/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((- h)/(x (x + h)))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (- h)/(x (x + h)) * (1)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (- 1)/(x (x + h))

Pronto, agora é simples, só substituir o valor 0 na expressão:

underset(h -> 0)(lim) (- 1)/(x (x + h)) = (- 1)/(x (x + 0)) = - (1)/(x^2)

Resposta

underset(h -> 0)(lim) ((1)/(x + h) - (1)/(x))/(h) = - (1)/(x^2)

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