Enunciado

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio.

L t = e - 5 t cos ⁡ 2 π t

Passo 1

O enunciado pede para explicitarmos o domínio da função e justificar, usando os teoremas mostrados ao longo da seção no livro, que ela é contínua em todos os pontos de seu domínio.

O teorema 4 afirma que a soma, subtração, produto e quociente de funções contínuas é uma função contínua.

O teorema 5 afirma que todos os polinômios e funções racionais (quociente de polinômios) são funções contínuas em seus domínios.

O teorema 7 afirma que todas as funções raízes, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciais e logarítmicas são contínuas em seus domínios.

Já o teorema 9 afirma que a composta de funções contínuas é contínua.

Passo 2

Como os domínios das funções exponencial e cosseno são reais, o domínio de L é

D L = R

Passo 3

Pelo teorema 7, e t e cos ⁡ t são funções contínuas. Como - 5 t e 2 π t são funções contínuas, pelo teorema 9 das funções compostas, e - 5 t e cos ⁡ 2 π t são contínuas. Por fim, como o produto de funções contínuas é contínuo (teorema 4), L é contínua.

Resposta

R: demonstração e   D L = R .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Prove que a equação x 3 - 1 1 + x 4 = 0 admite ao menos uma raiz real.
Seja f x = x 5 + x + 1 . Justifique a afirmação: f tem pelo menos uma raiz no intervalo - 1,0 .
Prove que a equação x 3 - 4 x + 2 = 0 admite três raízes reais distintas.
Seja α a menor raiz positiva da equação x 3 - 4 x + 2 = 0 . Determine os intervalos de amplitudes 1 2 , 1 4 e 1 8 que contenham α .
Seja f contínua em a ,b e tal que fa fb . Suponha que quaisquer que sejam s e t em a ,b , s ≠t⇒fs ≠ ft . Prove que f é estritamente crescente em a ,b .(Observação: f estritamente crescente em a ,b⇔∀