Enunciado

Prove que a equação x 3 - 4 x + 2 = 0 admite três raízes reais distintas.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente provar que a equação x 3 - 4 x + 2 = 0 admite três raízes reais distintas.

Pra isso, precisamos lembrar que uma raiz de uma equação é um valor de x que faz o nosso f ( x ) ser zero. Se ele é zero, significa que ele passa pelo eixo x nesse ponto. Só que antes de passar pelo eixo, a função vai ter um sinal e quando ela passa pelo eixo, ela troca de sinal.

Repare que a função f x = x 3 - 4 x + 2 é um polinômio, então é contínua. Logo, podemos avaliar seu valor nos extremos de três intervalos distintos. Assim, calculando os valores da função nos extremos desses intervalos, vamos verificar onde há uma mudança de sinal, que vai nos indicar a presença de uma raiz. Beleza?

Vamos lá!

Passo 2

Vamos considerar os intervalos - 3 , - 2 , 0,1 e 1,2 . Assim, quando x = - 3 , temos:

f - 3 = - 3 3 - 4 - 3 + 2 = - 13

Quando x = - 2 temos:

f - 2 = - 2 3 - 4 - 2 + 2 = 2

Para passar do - 13 para o 2 a função passa no zero (no eixo x ) em algum ponto desse intervalo, então ela tem uma raiz no intervalo - 3 , - 2 .

Passo 3

Agora para o intervalo [ 0 ,   1 ] , quando x = 0 , temos:

f 0 = 0 3 - 4 0 + 2 = 2

E quando x = 1 temos:

f 1 = 1 3 - 4 1 + 2 = - 1

Para passar do 2 para o - 1 a função passa no zero em algum ponto desse intervalo, então ela tem uma raiz no intervalo 0,1 .

Passo 4

Por fim, no intervalo [ 1 ,   2 ] vamos ver o que acontece quando x = 2 :

f 2 = 2 3 - 4 2 + 2 = 2

Então, para passar do - 1 para o 2 a função passa no zero em algum ponto desse intervalo, e, portanto, tem uma raiz no intervalo 1,2 .

Passo 5

Se concluímos que x 3 - 4 x + 2 tem ao menos uma raiz nos intervalos - 3 , - 2 , 0,1 e 1,2 , então, provamos que x 3 - 4 x + 2 = 0 admite três raízes reais distintas.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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