Enunciado

Expresse o conjunto das soluções da inequação dada em notação de intervalo.

x 2 + x + 1 > 0

Passo 1

Vamos fatorar a expressão para ficar melhor de trabalhar, vamos completar quadrado da expressão:

x 2 + x + 1

A expressão próxima dessa que teria um trinômio quadrado perfeito seria:

x + 1 2 2 = x 2 + x + 1 4

Vamos então transformar a primeira nesse formato, para isso vamos adicionar um valor que somado a 1 1 4 :

y + 1 = 1 4 → y = 1 4 - 1 → y = 1 - 4 4 = - 3 4

Pronto, o valor é - 3 4 , vamos adicionar ele e o oposto desse valor, o valor 3 4 :

x 2 + x + 1 - 3 4 + 3 4

Passo 2

Agora vamos simplificar a expressão:

x 2 + x + 1 - 3 4 + 3 4 = x 2 + x + 1 4 + 3 4 = x + 1 2 2 + 3 4

Pronto, agora vamos substituir na nossa inequação:

x 2 + x + 1 > 0 ↔ x + 1 2 2 + 3 4 > 0 ↔ x + 1 2 2 > - 3 4

Vamos então analisar a expressão, x + 1 2 2 vai ser sempre positiva, não importa o valor de x , pois a expressão está elevada ao quadrado, assim ela vai ser sempre maior que - 3 4 , então temos como solução qualquer valor de x , que em notação de intervalo vamos escrever a expressão com um intervalo aberto indo de menos infinito para mais infinito:

x ∈ R | x = - ∞ , + ∞

Resposta

x ∈ R | x = - ∞ , + ∞

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