Enunciado

Expresse a integral indefinida em termos de uma função hiperbólica inversa e como um logaritmo natural.

∫ 1 4 + x 2   d x

Passo 1

A questão pede para expressarmos a integral em termos de funções hiperbólicas. Note que não é pedido para calcularmos a integral, devemos apenas expressar o resultado em termos das funções hiperbólicas. Para isso, você precisa dar uma olhada no teorema 9.8.4.

Neste caso, temos

I = ∫ 1 4 + x 2   d x

No teorema 9.8.4 desta seção do livro, é dado que

∫ 1 a 2 + x 2   d x = s e n h - 1 x a + C = ln ⁡ x + a 2 + x 2 + C

Note que a integral que queremos expressar é exatamente essa com a 2 = 4 ⇒ a = 2 .

Passo 2

Portanto, usando a = 2 na expressão do teorema 9.8.4, temos que

I = s e n h - 1 x 2 + C = ln ⁡ x + 4 + x 2 + C

Se você quisesse calcular essa integral na raça para obter a resposta na forma de logaritmo natural, você teria que fazer a substituição trigonométrica x = 2 tan ⁡ θ .

Resposta

s e n h - 1 x 2 + C = ln ⁡ x + 4 + x 2 + C

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