Calcule a integral.

∫ sen 3 ⁡ θ cos 5 ⁡ θ d θ

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa, vamos tentar simplificar a expressão:

∫ sen 3 ⁡ θ cos 5 ⁡ θ d θ = ∫ sen 2 ⁡ θ sen ⁡ θ cos 5 ⁡ θ d θ

Huum, temos um seno ao quadrado alí, podemos então usar a identidade trigonométrica:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 → sen 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

Assim fica então:

∫ sen 3 ⁡ θ cos 5 ⁡ θ d θ = ∫ sen 2 ⁡ θ sen ⁡ θ cos 5 ⁡ θ d θ = ∫ 1 - cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ cos 5 ⁡ θ d θ

Como temos seno e cosseno na integral, podemos fazer uma Substituição usando o cosseno, assim:

u = cos ⁡ θ

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = - sen ⁡ θ d θ → sen ⁡ θ d θ = - d u

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 - cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ cos 5 ⁡ θ d θ = ∫ - 1 - u 2 u 5 d u = ∫ - u 5 + u 7 d u = ∫ - u 5 d u + ∫ u 7 d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Vamos resolver as duas integrais separadamente:

∫ - u 5 d u = - 1 ∫ u 5 d u = - 1 u 5 + 1 5 + 1 = - u 6 6 + C

∫ u 7 d u = u 7 + 1 7 + 1 = u 8 8 + C

Agora é só juntar, vamos lá:

∫ - u 5 d u + ∫ u 7 d u = - u 6 6 + u 8 8 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável θ , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = cos ⁡ θ :

∫ sen 3 ⁡ θ cos 5 ⁡ θ d θ = - u 6 6 + u 8 8 + C = - cos 6 ⁡ θ 6 + cos 8 ⁡ θ 8 + C

Resposta

∫ sen 3 ⁡ θ cos 5 ⁡ θ d θ = - cos 6 ⁡ θ 6 + cos 8 ⁡ θ 8 + C

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