Enunciado

Calcule a integral.

int sen^3 theta cos^5 theta d theta

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa, vamos tentar simplificar a expressão:

int sen^3 theta cos^5 theta d theta = int sen^2 theta sen theta cos^5 theta d theta

Huum, temos um seno ao quadrado alí, podemos então usar a identidade trigonométrica:

sen^2 x + cos^2 x = 1 -> sen^2 x = 1 - cos^2 x

Assim fica então:

int sen^3 theta cos^5 theta d theta = int sen^2 theta sen theta cos^5 theta d theta = int (1 - cos^2 theta) sen theta cos^5 theta d theta

Como temos seno e cosseno na integral, podemos fazer uma Substituição usando o cosseno, assim:

u = cos theta

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = - sen theta d theta -> sen theta d theta = - d u

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1 - cos^2 theta) sen theta cos^5 theta d theta = int - (1 - u^2) u^5 d u = int - u^5 + u^7 d u = int - u^5 d u + int u^7 d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Vamos resolver as duas integrais separadamente:

int - u^5 d u = - 1 int u^5 d u = - 1 ((u^(5 + 1))/(5 + 1)) = - (u^6)/(6) + C

int u^7 d u = (u^(7 + 1))/(7 + 1) = (u^8)/(8) + C

Agora é só juntar, vamos lá:

int - u^5 d u + int u^7 d u = - (u^6)/(6) + (u^8)/(8) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável theta , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = cos theta :

int sen^3 theta cos^5 theta d theta = - (u^6)/(6) + (u^8)/(8) + C = - (cos^6 theta)/(6) + (cos^8 theta)/(8) + C

Resposta

int sen^3 theta cos^5 theta d theta = - (cos^6 theta)/(6) + (cos^8 theta)/(8) + C

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