Enunciado

Expresse o limite com uma integral definida . Depois, calcule a integral para determinar o valor do limite. P é uma partição do intervalo dado e os números c k são escolhidos dentro dos subintervalos de P.

Passo 1

Antes de iniciar, devemos lembrar qual a cara de um integral definida por somas de Rieman.

Folhando o livro, encontrei essa definição fresquinha (pra tu não precisar ir procurar lá ne migs!) Toma aí:

lim | | P | | → 0 ⁡   ∑ k = 1 n   f c k   Δ x k =   ∫ a b f x d x

Onde P é uma partição de [ a , b ] .

Agora, vamos olhar para o que nos foi dado:

lim | | P | | → 0 ⁡   ∑ k = 1 n   2 c k - 1   - 1 2 Δ x k  

Onde P é uma partição de [ 1,5 ] .

Consegue fazer uma comparação? Então, pelo o que nos foi dado,

lim | | P | | → 0 ⁡   ∑ k = 1 n   2 c k - 1   - 1 2 Δ x k = ∫ 1 5 2 x - 1 - 1 2   d x    

Agora é só resolver esse babado. Uma má notícia é que esse cara ai dentro não tem uma primitiva tabelada. Isso significa que vamos para as contas... Mano do céu!

Passo 2

Beleza. Vamos tentar identificar alguma forma de resolver esse babado mais facilmente. Pensando nas contas que já fiz, enxergo que esse cara seria mais resolvível se tivesse somente uma variável elevada a uma potência, que é uma das formas que de resolver integral que a gente já conhece né ? Isso nos dá uma ideia! Vamos fazer uma substituição!

Tomando u = 2 x - 1   ⇒ d u = 2   d x   ⇒ 1 2 d u = d x  

Vamos modificar nosso limite de integração agora.

x = 1   ⇒ u = 1 e x = 5 ⇒ u = 1 3

Então nossa integral fica

∫ 1 5 2 x - 1 - 1 2   d x =     ∫ 1 1 3 u - 1 2 ⋅ 1 2 d u = | u 1 2 1 2     ​ 1 1 3     = 2 . u 1 2 1 1 3 = 2 .   1 3 - 1 =   - 4 3

Resposta

∫ 1 5 2 x - 1 - 1 2   d x =   - 4 3

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