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Expresse o número como uma razão de inteiros.

0 , 2 - = 0,2222 …

Passo 1

Para transformar isso numa razão de inteiros, ou uma fração, vamos pegar a parte fixa e somar em uma série que vai representar a parte que se repete. Essa série é uma série geométrica, que nós sabemos como encontrar o valor pela fórmula

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 - r

Passo 2

Para esse numero, a parte fixa é o 0 e o 2 se repete infinitamente, assim

0,2222 … = 0 + 2 10 + 2 100 + 2 1000 + 1 10000 + …

Que é a mesma coisa que

0,2222 … = ∑ n = 1 ∞ 2 1 10 n

Ela inicia em 1 porque não temos um termo 2 inteiro, então a série não tá no formato de geométrica. Para resolver isso, vamos somar 2 dos dois lados e depois subtraímos, ou dividimos o resultado por 10 , que nos dá o mesmo efeito

2 , 2222 … = ∑ n = 0 ∞ 2 1 10 n

Passo 3

Aplicando a fórmula

∑ n = 0 ∞ 2 1 10 n = 2 1 - 1 10 = 2 9 10 = 20 9

Então

2,2222 … = 20 9

Dividindo os dois lados por 10

0 , 2222 … = 2 9

Resposta

0,2222 … = 2 9

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