Expresse o polinômio

f(x, y) = x^3 + 2x^2y + 3y^3 + x - y -> (x_0, y_0) = (1,1)

como soma de termos do tipo

a(x-1)^p * (y-1)^q

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos essa equaçãozinha aii e depois dar o resultado. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar o valor da nosssa função a partir do ponto inicial.

f x , y = x ³ + 2 x ² y + 3 y ³ + x - y → f ( 1,1 ) = 6

Achado isso, vamos encontrar a nossa derivada parcial de cada situação.

f x , y = x ³ + 2 x ² y + 3 y ³ + x - y ∂ f ∂ x = 3 x 2 + 4 x y + 1 = 8 ∂ f ∂ y = 2 x ² + 9 y ² - 1 = 10 ∂ 2 f ∂ x 2 = 6 x + 4 y = 10 ∂ ² f ∂ y ² =   18 y = 18   ∂ 2 f ∂ x ∂ y = 4 x = 4 ∂ 3 f ∂ x 3 = 6 ∂ 3 f ∂ y 3 = 18 ∂ 3 f ∂ x 2 ∂ y = 4 ∂ 3 f ∂ y 2 ∂ x = 0

Com nossos valores principais já calculados, precisamos jogar todo mundo na equação de Taylor de terceira ordem. Lembra dela?? Vou te dar um tempo para ir lá na teoria procurar...

P 3 x , y = f x 0 , y 0 + ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 y - y 0 + 1 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x 0 , y 0 x - x 0 2 + 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y x 0 , y 0 x - x 0 y - y 0 + ∂ 2 f ∂ y 2 x 0 , y 0 y - y 0 2 + 1 3 ! ∂ 3 f ∂ x 3 x 0 , y 0 x - x 0 3 + 3 ∂ 3 f ∂ x 2 ∂ y x 0 , y 0 x - x 0 2 y - y 0 + 3 ∂ 3 f ∂ y 2 ∂ x x 0 , y 0 y - y 0 2 x - x 0 + ∂ 3 f ∂ y 3 x 0 , y 0 y - y 0 3

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

f x , y =   x ³ + 2 x ² y + 3 y ³ + x - y → P 2 x , y = 6 + 8 x - 1 + 10 y - 1 + 5 x - 1 2 + 4 x - 1 y - 1 + 9 y - 1 2 + x - 1 3 + 2 x - 1 2 y - 1 + 3 y - 1 3

Resposta

f x , y =   x ³ + 2 x ² y + 3 y ³ + x - y → P 2 x , y = 6 + 8 x - 1 + 10 y - 1 + 5 x - 1 2 + 4 x - 1 y - 1 + 9 y - 1 2 + x - 1 3 + 2 x - 1 2 y - 1 + 3 y - 1 3

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