Enunciado

Sejam f x , y = e x + 5 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f   em volta de ( 0,0 )

  1. Mostre que para todo ( x , y ) com x + 5 y < 1

e x + 5 y - P 1 x , y < 3 2 x + 5 y 2

Passo 1

Então mínimo, para a gente resolver essa questão, vou botar aqui o polinômio de Taylor para vê se tu tem a merma ideia que a minha, viu?

O polinômio tem a cara:

f x , y = P x , y + E x , y

f x , y =   f x 0 , y 0 + ∂ f ∂ x   x 0 , y 0 x - x 0 +   ∂ f ∂ y x 0 , y 0 y - y 0 + 1 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x - ,   y -     x - x 0 2 + 2   ∂ 2 f ∂ x ∂ y x - ,   y -   x - x 0 y - y 0 +   ∂ 2 f ∂ y 2 x - ,   y -   y - x 0 2  

Se você se ligar, vai ver que

e x + 5 y - P 1 x , y = E x , y  

E dai,

E x , y = 1 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x - ,   y -     x - 0 2 + 2   ∂ 2 f ∂ x ∂ y x - ,   y -   x - 0 y - 0 +   ∂ 2 f ∂ y 2 x - ,   y -   y - 0 2

Usando o item b) da questão anterior, temos que

∂ f ∂ x   x , y = 3 x 2 - 2 x ⟹ ∂ 2 f ∂ x 2 x , y = 6 x - 2

E,

∂ f ∂ y x , y = 3   y 2 + 4   ⟹ ∂ 2 f ∂ y 2 x , y =     6 y  

∂ 2 f ∂ x ∂ y x - ,   y -   = 6

Sendo assim,

R x , y = 1 2 6 x - - 2 x - 0 2 + 2 ⋅ 6   x - 0 y - 0 + 6   y - y - 0 2

= 1 2 6 x - - 2 x 2 + 12   x y + 6   y - y 2

<   1 2 6 ( 1 - 5 y   - ) - 2 x 2 + 12   x y + ( 6   y - ) y 2

< 3 2   x 2 + 10 x y + 25 y 2

< 3 2 x + 5 y 2  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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