Enunciado

Expresse D como a região do tipo I e também como uma região do tipo II. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras.

∬ D x d A

D é limitada pelas retas y = x , y = 0 , x = 1 .

Passo 1

Temos um problema de integração em uma região geral. Precisamos entender que tipo de região estamos trabalhando para poder resolver a integral.

Uma região do tipo 1 é uma região limitada acima e abaixo por uma curva, além disto, é limitada lateralmente por retas verticais. Portanto, o seu domínio é:

D = x , y x 0 ≤ x ≤ x 1 ,   g x ≤ y ≤ f x }

Já uma região do tipo 2 é o contrário. É uma região limitada lateralmente por curvas, mas acima e abaixo por retas horizontais. Portanto, temos o seguinte domínio:

D = x , y y 0 ≤ y ≤ y 1 ,   g y ≤ x ≤ f y }

Vamos começar por esboçar o gráfico da nossa região. Posteriormente, vamos escrever cada uma das regiões.

Passo 2

Primeiramente, vamos esboçar a nossa região. Portanto,

Passo 3

Agora podemos começar a escrever a nossa região. Como a região do tipo I é limitada acima por uma curva e abaixo por outra, temos

0 ≤ y ≤ x

Já os limites laterais são 0 ≤ x ≤ 1 . Portanto, a nossa integral é:

∫ 0 1 ∫ 0 x x d y d x

Resolvendo-a, temos:

∫ 0 1 ∫ 0 x x d y d x = ∫ 0 1 x y 0 x d x

∫ 0 1 x 2 d x

x 3 3 0 1 = 1 3

Passo 4

Vamos escrever a nossa região como uma região do tipo II. Portanto, ela é limitada a esquerda por uma curva e a direita por outra curva. Portanto, temos:

y ≤ x ≤ 1

Acima ela é limitada pela reta y = 1 (se resume a um ponto) e abaixo por outra reta y = 0 . Portanto, a nossa integral é:

∫ 0 1 ∫ y 1 x d x d y

Resolvendo-a, temos:

∫ 0 1 ∫ y 1 x d x d y = ∫ 0 1 x 2 2 y 1 d y

∫ 0 1 1 2 - y 2 2 d y

y 2 - y 3 6 0 1 = 1 2 - 1 6 = 1 3

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 x x d y d x = ∫ 0 1 ∫ y 1 x d x d y = 1 3

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∫ 0 1 ∫ 0 s 2 cos ⁡ s 3 d t d s
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