Enunciado

Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla

∬ D R 2 - x 2 - y 2 d A

D é o disco com centro na origem e raio R.

Passo 1

Esta tipo de questão é interessante pois nos cobra o uso de propriedades (quando falamos de simetria estamos pensando na paridade de funções) ou na comparação do sólido com o volume de uma figura.

Observe que uma função F x , y = R 2 - x 2 - y 2 é positiva independentemente dos valores de x e y . Se fizermos z = F x , y , obtemos uma semiesfera, cujo centro é a origem O = 0,0 , 0 e possui raio R .

Já a região D é um disco com centro na origem e raio R, logo,

x 2 + y 2 = R 2

Portanto, precisamos obter o volume acima da região D no plano x y e abaixo da superfície da esfera. Coincidentemente, queremos obter o volume de toda uma semiesfera! Portanto, o resultado da nossa integral é:

∬ D R 2 - x 2 - y 2 d A = 1 2 ⋅ 4 π R 3 3 = 2 π R 3 3

Resposta

∬ D R 2 - x 2 - y 2 d A = 2 π R 3 3

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