Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 64
Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla
D é o disco com centro na origem e raio R.
Passo 1
Esta tipo de questão é interessante pois nos cobra o uso de propriedades (quando falamos de simetria estamos pensando na paridade de funções) ou na comparação do sólido com o volume de uma figura.
Observe que uma função é positiva independentemente dos valores de e . Se fizermos , obtemos uma semiesfera, cujo centro é a origem e possui raio .
Já a região D é um disco com centro na origem e raio R, logo,
Portanto, precisamos obter o volume acima da região D no plano e abaixo da superfície da esfera. Coincidentemente, queremos obter o volume de toda uma semiesfera! Portanto, o resultado da nossa integral é:
Resposta
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