Enunciado

int_0^1 int_0^(s^2) cos (s^3) d t d s

Passo 1

Temos um problema de integração em uma região geral. Como já nos foi dado a integral, não é necessário compreender qual o tipo de região.

Muita calma nessa hora! Se fosse uma questão de Cálculo 1, em que precisamos integrar apenas em relação a uma variável (no caso a s ), iríamos ficar nervosos e dizer que não há solução! E realmente, não existe uma solução analítica para este caso.

Mas, como estamos em uma integral dupla, vamos começar integrando em relação a t , e assim substituir os limites de integração, conforme o Teorema Fundamental do Cálculo!

Ao fazermos nesta ordem, vocês perceberam que tudo irá fluir!

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a t . Como cos (s^3) é uma constante para t , temos:

int_0^1 int_0^(s^2) cos ( s^3 ) d t d s

int_0^1 cos (s^3) * (t)_0^(s^2) d s

int_0^1 s^2 cos (s^3) d s

Passo 3

Agora sim!! Conseguiremos resolver a nossa integral! Mas, para isto, precisamos utilizar algumas técnicas de integração.

Vamos então fazer uma substituição de variáveis. Se chamarmos u = s^3 , então d u = 3 s^2 d s . Portanto, teremos a seguinte mudança:

int s^2 cos (s^3) d s = int (cos u)/(3) d u

Agora, vamos trabalhar com os limites de integração. Quando s = 0 , temos u = 0 . Já quando s = 1 , u = 1 . Portanto,

int_0^1 s^2 cos (s^3) d s = int_0^1 (cos u)/(3) d u

Passo 4

Agora, só nos basta resolver a integral. Portanto, temos:

int_0^1 (cos u)/(3) d u = ((sen u)_0^1)/(3)

int_0^1 (cos u)/(3) d u = (sen 1 - sen 0)/(3) = (sen 1)/(3)

Resposta

int_0^1 (cos u)/(3) d u = (sen 1)/(3)

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Expresse D como a região do tipo I e também como uma região do tipo I I . Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras. ∬ D x y d A , Dél i m i t a d ap e l a sr e t a sy = x 2 ,y = 3 x é