Enunciado

Expresse em um único logaritmo.

e 2 x - 3 e x + 2 = 0

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente expressar a equação dada um único logaritmo. Nossa equação é dada da seguinte forma:

e 2 x - 3 e x + 2 = 0

Pra expressá-la em termos de um único logaritmo, vamos precisar usar as propriedades de logaritmo, que são essas aqui:

Além disso, precisamos lembrar que a função exponencial é a inversa da função logarítmica, ou seja:

Dessa forma, temos que ln ⁡ e = 1 .

Então, o que nós vamos fazer é aplicar o ln em cada termo da equação e usar as propriedades dadas para tentar simplificar essa equação em termos de um único logaritmo.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar reescrevendo nossa equação na forma:

2 = 3 e x - e 2 x

Então, aplicando o ln dos dois lados, temos:

ln ⁡ 2 = ln ⁡ ( 3 e x ) - ln ⁡ ( e 2 x )

Usando a terceira propriedade que nós vimos no passo 1 ( ln ⁡ x r = r ln ⁡ x ), vamos ter:

ln ⁡ 2 = 3 x ln ⁡ e - 2 x ln ⁡ e

Mas nós vimos que o logaritmo é a função inversa da exponencial, então ln ⁡ e é sempre igual a 1 . Dessa forma, vamos ter:

ln ⁡ 2 = 3 x ∙ 1 - 2 x ∙ ( 1 )

ln ⁡ 2 = 3 x - 2 x

Resolvendo a subtração do lado direito:

ln ⁡ 2 = x

Logo, temos a equação expressa em um único logaritmo:

x = ln ⁡ 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x = ln ⁡ 2

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Expanda o logaritmo em termos de somas, de diferenças e de múltiplos de logaritmos mais simples.
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Em cada parte, identifique o domínio e a imagem da função e, então, esboce o gráfico da função sem utilizar um recurso computacional.
Expanda o logaritmo em termos de somas, de diferenças e de múltiplos de logaritmos mais simples.
Faça o gráfico das funções na mesma tela de um recurso gráfico computacional. [Use a fórmula de mudança de base quando necessário.]