Enunciado

Um fabricante de geradores elétricos começa suas operações em 1º de janeiro de 1980. Durante o primeiro ano não houve vendas, pois a fábricaconcentrou esforços em pesquisas e no desenvolvimento do produto. Depois do primeiro ano as vendas cresceram constantemente, de acordo com a equação y = x ln ⁡ x , onde x é o número de anos durante os quais a fábrica esteve operando e y é o número, expresso em milhões, do volume de vendas. (a) Faça um esboço do gráfico da equação.

Passo 1

O primeiro passo para esboçar o gráfico é encontrar as raízes da equação em questão. Nesse caso, temos apenas uma raíz.

y = x l n x q u a n d o   x = 1   → y = 1 * ln ⁡ 1 = 0

Logo, a raíz é o ponto ( 1,0 ) .

Passo 2

O próximo passo é analisarmos as assíntotas horizontais e verticais. Vamos primeiro para as horizontais. O gráfico de uma função não terá assíntotas horizontais se lim x → + ∞ ⁡ f x = ∞ ou lim x → - ∞ ⁡ f x = - ∞ . lim x → + ∞ ⁡ x   l n x = ∞ Logo, não temos assíntotas horizontais.

Para a assíntota vertical, temos:

lim x → 0 ⁡ x l n x = l i m x → 0 ln ⁡ x 1 x = l i m x → 0 ln ⁡ x x - 1 = ∞ ∞

Como tempos uma indeterminação, devemos aplicar a regra de L’Hôpital e calcular o limite do quociente das derivadas: l i m x → 0 1 x - 1 * x - 2 = l i m x → 0 1 x - x - 2 = l i m x → 0 1 x - 1 x 2 l i m x → 0 - 1 x * x 2 = l i m x → 0 - x = 0

Logo, não há assíntota vertical também.

Passo 3

Vamos encontrar agora os pontos críticos da função. Para isso, vamos derivar y e igualar a zero.

y ' = 1 + ln ⁡ x = 0 ln ⁡ x = - 1 e ln ⁡ x = e - 1 x = e - 1 = 1 e f 1 e = 1 e ln ⁡ 1 e f 1 e = 1 e ln ⁡ 1 - ln ⁡ e f 1 e = 1 e - 1 = - 1 e

Passo 4

Vamos verificar se existem pontos de inflexão e analisar se o ponto crítico que encontramos no passo anterior é um ponto de máximo ou mínimo. Para isso, vamos analisar a segunda derivada.

y ' ' = 1 x = 0

Como não há valor de x que satisfaça essa equação, não temos ponto de inflexão. Se substituirmos o valor do ponto crítico na segunda derivada, podemos descobrir se tempos um ponto de máximo ou mínimo. Fazendo isso:

y ' ' = 1 1 e = e > 0

O valor encontrado para y ' ' é positivo, o que implica dizer que x = 1 e   e   y = - 1 e é um ponto de mínimo local.

Passo 5

Vamos observar o comportamento da função y ' .

Tendo essas informações podemos traçar nosso gráfico, com ponto mínimo em x = 1 e e   y = - 1 e e interceptação no eixo x em x = 1 .

Resposta

O gráfico para y = x l n ( x ) é:

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