Enunciado

Suponha que a percentagem P ( t ) de lares dos Estados Unidos com acesso à Internet por meio de banda larga seja modelada por

P t =   5300 53 + 47 e - 0,182 t

em que t é o número de anos decorridos depois de um levantamento inicial feito em 2007.

(a) Use um recurso computacional para traçar o gráfico de P ( t ) .

(b) Descreva o que acontece com a percentagem ao longo do tempo. Confira sua conclusão calculando lim t → ∞ ⁡ P ( t ) .

(c) O que acontece com a taxa do crescimento dos lares com esse acesso ao longo do tempo? Confira sua conclusão traçando o gráfico de   P ' ( t ) .

Passo 1

(a)

Usando recursos computacionais chegamos no seguinte gráfico:

É importante lembrar que não faz tanto sentido pegar a parte do gráfico aonde t < 0 , pois t é uma quantidade de anos

Passo 2

(b)

Olhando para o gráfico conseguimos perceber que a porcentagem ao longo do tempo aumenta, com tendência de chegar a 100 % pra grandes períodos de tempo.

lim t → ∞ ⁡ P ( t ) = 5300 53 + 47 e - 0,182 t

Para t → ∞ ,     e - 0,182 t → 0

Então:

lim t → ∞ ⁡ P ( t ) = 5300 53 + 47 ( 0 ) =   5300 53 = 100

De fato, para períodos muito grandes de tempo a porcentagem tende a 100 % .

Passo 3

(c)

Quanto mais lares tem acesso à internet, mais devagar cresce a porcentagem de lares com acesso, dado que a maioria já vai ter. Ou seja, pra períodos muito grandes essa taxa de crescimento tende a diminuir e ir a zero.

Achando P ' ( x )

P ' t = (   5300 53 + 47 e - 0,182 t   ) '

Usando a regra da derivação da divisão:

P ' t =   5300 ' 53 + 47 e - 0,182 t - ( 5300 ) ( 53 + 47 e - 0,182 t ) ' 53 + 47 e - 0,182 t 2  

P ' t =   - ( 5300 ) ( 53 + 47 e - 0,182 t ) ' 53 + 47 e - 0,182 t 2  

P ' t =   - ( 5300 ) ( 47 ( - 0.182 ) e - 0,182 t ) 53 + 47 e - 0,182 t 2

P ' t =   45336,2   e - 0,182 t 53 + 47 e - 0,182 t 2

Se obtivermos o gráfico de P ' ( x ) :

De fato, para períodos de tempo muito longos a taxa de crescimento tende a zero.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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