Enunciado

Faça um esboço do gráfico da função f dada, determinando primeiro o seguinte: os extremos relativos, de f ; os pontos de inflexão do gráfico de f ; os intervalos nos quais f é crescente aqueles onde f é decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côcavo para baixo; A inclinação das tangentes inflexionais, as assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem.

f x = x 25 - x 2

Passo 1

Que textão de questão hein!! Mas calma, olhando ela por partes verá que é bem tranquila, na verdade. Antes de tudo, é importante olhar algo que a questão não pede: o domínio onde a função está definida. Para isso, basta olhar que o que fica em baixo da raíz deve ser maior ou igual a zer, logo:

25 - x 2 ≥ 0

- x 2 ≥ - 25

x 2 ≤ 25

x ≤ 5

Logo, x   ϵ   [ - 5 ,   5 ] . Assim sabemos que o gráfico só vai existir no intervalo [ - 5 ,   5 ] .

Passo 2

Agora vamos calcular os extremos da função tirando a derivada e igualando a 0:

d d x x 25 - x 2 = 0

25 - x 2 + x 1 2 25 - x 2 × ( - 2 x ) = 0

25 - x 2 - x 2 = 0

25 - 2 x 2 = 0

x = ± 5 2 = ± 5 2 2

Então existem dois pontos onde a derivada é zero, é o ponto para x = - 5 2 / 2 e   x = 5 2 / 2 . Para encontrar os pontos basta aplicar esses valores de x na função:

Primeiro ponto:

f - 5 2 2 = - 5 2 2 25 - - 5 2 2 2

f - 5 2 2 = - 5 2 2 25 - 25 × 2 4

f - 5 2 2 = - 5 2 2 25 2

f - 5 2 2 = - 25 2

Segundo ponto:

f 5 2 2 = 5 2 2 25 - 5 2 2 2

f 5 2 2 = 5 2 2 25 - 25 × 2 4

f 5 2 2 = 5 2 2 25 2

f 5 2 2 = 25 2

Logo os dois pontos extremos da função são: - 5 2 2 ,   - 25 2 ;   5 2 2 ,     25 2

Passo 3

Para descobrir os pontos crescentes e decrescentes da função, basta fazer um estudo do sinal da função.

Encontrando o intervalo para o qual a função derivada é positiva:

f ' x = 25 - 2 x 2 > 0

- 2 x 2 > - 25

2 x 2 < 25

x < ± 5 2

Logo a função é crescente no intervalo - 5 2 ,   5 2 .

Encontrando o intervalo para o qual a função derivada é negativa:

f ' x = 25 - 2 x 2 < 0

- 2 x 2 < - 25

2 x 2 > 25

x > ± 5 2

Mas o domínio da função estárestrito ao intervalo [ - 5 ,   5 ] , logo a função é decrescente apenas nos intervalos - 5 , -   5 2 e 5 2 ,   5 .

Passo 4

Não fica cansado que a questão tá quase acabando, agora falta só analisar os intervalos onde a concavidade é para cima e os intervalos onde a concavidade é para baixo. Para isso, fazemos um estudo do sinal da segunda derivada;

f ' ' x = d d x 25 - 2 x 2 = - 4 x

Concavidade para cima, segunda derivada é positiva:

f ' ' x = - 4 x > 0 ∴ x < 0

Logo a concavidade é para cima no intervalo [-5, 0)

Concavidade para baixo, segunda derivada é negativa:

f ' ' x = - 4 x < 0 ∴ x > 0

Logo a concavidade é para baixo no intervalo (0, 5]

Passo 5

Agora é só reunir todas as informações descobertas até agora em um esboço do gráfico:

Resposta

Extremos Relativos: - 5 2 2 ,   - 25 2 ;   5 2 2 ,     25 2 ;

Crescente no intervalo - 5 2 ,   5 2 ;

Decrescente nos intervalos - 5 , -   5 2 e 5 2 ,   5 ;

Concavidade para cima no intervalo [-5, 0);

Concavidade para baixo no intervalo (0, 5];

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Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
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