Enunciado

Um pedaço de fio de 20 cm deve ser cortado em dois e cada parte é dobrada, tomando a forma de um quadrado. Como deve ser cortado o fio de modo que a área total dos quadrados seja a menor possível?

Passo 1

Bom, supondo que o fio será cortado em dois pedaços, um de tamanho a cm e outro de tamanho b cm, os dois quadrados formados terão, a/4 cm e b/4 cm. Assim, a área total será:

A = a 4 2 + b 4 2

A = a 16 2 + b 16 2                                                                                                           ( 1 )

Considerando também que a soma dos dois novos pedaços deve ser igual ao tamanho do pedaço antigo, então:

a + b = 2 0

a = 2 0 - b                                                                                                                 ( 2 )

Substituindo a equação acima lá na equação (1):

A = a 16 2 + b 16 2

A = 2 0 - b 16 2 + b 16 2

A = 400 - 40 b + b 2 16 + b 16 2

A ( b ) = 2 00 - 2 0 b + b 2 8                                                                                             ( 2 )

Passo 2

Agora que encontramos o valor da Área total em função de um dos pedaços, fazemos a derivada e igualamos a 0 para encontrar o valor de b que dá a menor área possível:

A ( b ) = 200 - 20 b + b 2 8

A ' ( b ) = - 20 + 2 b 8

- 20 + 2 b 8 = 0

- 20 + 2 b = 0

2 b = 20

b = 10 c m

Substituindo o valor de b na equação (2)

a = 20 - 10

a = 10 c m

Resposta

Deve ser cortado em dois pedaços de 10cm cada.

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