Enunciado

  1. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo indicado;
  2. Teste as três condições (i), (ii) e (iii) das hipóteses do teorema de Rolle e determine quais entre elas são satisfeitas;
  3. Se as três condições de (b) forem satisfeitas, determine um ponto no qual existe uma reta tangente horizontal.

f x = x 4 3 - 3 x 1 3 ; [ 0 ,   3 ]

Passo 1

Vamos substituir alguns pontos do intervalo [ 0 ,   3 ] na função f e observar seu comportamento a fim de auxiliar no esboço do gráfico da função.

→ x = 0

f 0 = 0 4 3 - 3 0 1 3 = 0 - 0 = 0

→ x = 1

f 1 = 1 4 3 - 3 1 1 3 = 1 - 3 = - 2

→ x = 3

f 3 = 3 4 3 - 3 3 1 3 = 3 4 3 - 3 4 3 = 0

Fazendo o esboço de f ( x ) no intervalo [ 0 ,   3 ] temos:

Passo 2

Como f é a subtração de funções contínuas, temos que f é contínua em todo seu domínio, em particular também será continua em [ 0 ,   3 ] .

Como x 4 3 e - 3 x 1 3 são deriváveis em ( 0 ,   3 ) , temos que f também é derivável neste intervalo.

Observe que f 0 = f 3 = 0 , logo f satisfaz as três condições do teorema de Rolle. Assim, existe c ∈ ( 0 ,   3 ) tal que f ' c = 0 .

Passo 3

Pelas regras de derivação temos:

f ' x = 4 3 x 4 3 - 1 - 3 . 1 3   x 1 3 - 1 ⇒

f ' x = 4 3 x 1 3 - x - 2 3 ⇒

f ' x = 4 x 1 3 3 - x - 2 3

Como queremos f ' c = 0 , temos:

4 c 1 3 3 - c - 2 3 = 0 ⇒

4 c 1 3 3 = c - 2 3 ⇒

4 c 1 3 3 = 1 c 2 3 ⇒

4 c 1 3 . c 2 3 = 3 ⇒

4 . c 1 3 + 2 3 = 3 ⇒

4 . c 3 3 = 3 ⇒

4 c = 3 ⇒

c = 3 4

Substituindo 3 4 em f temos:

f 3 4 = 3 4 4 3 - 3 3 4 1 3 ⇒

f 3 4 = 3 4 . 3 4 1 3 - 3 3 4 1 3 ⇒

f 3 4 = - 9 4 . 3 4 1 3

Racionalizando:

f 3 4 = - 9 8 6 3

Resposta

As três condições do teorema de Rolle são satisfeitas e no ponto 3 4 ,   - 9 8 6 3 tem-se uma reta tangente horizontal.

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