Enunciado

  1. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo indicado;
  2. Teste as três condições (i), (ii) e (iii) das hipóteses do teorema de Rolle e determine quais entre elas são satisfeitas;
  3. Se as três condições de (b) forem satisfeitas, determine um ponto no qual existe uma reta tangente horizontal.

f x = {  

x 2 - 4 ,   s e   x < 1 5 x - 8 ,   s e   x ≥ 1  

- 2 , 8 5

Passo 1

Como f é uma função por partes, é preciso observar seu comportamento em cada intervalo de x para poder esboçar o gráfico da função. Observe que x 2 - 4 é uma função do segundo grau, logo seu gráfico é uma parábola, e 5 x - 8 é uma função do primeiro grau, logo seu gráfico é uma reta. Vamos atribuir alguns valores para x e observar o comportamento de f .

Se   x = - 2   então f x = x 2 - 4 e:

f - 2 = ( - 2 ) 2 - 4 = 4 - 4 = 0

Se   x = 0   então f x = x 2 - 4 e:

f 0 = x 2 - 4 = 0 - 4 = - 4

Se   x = 1   então f x = 5 x - 8 e:

f 1 = 5 1 - 8 = 5 - 8 = - 3

Se   x = 8 5   então f x = 5 x - 8 e:

f 8 5 = 5 8 5 - 8 = 8 - 8 = 0

Fazendo o esboço de f ( x ) no intervalo - 2 , 8 5 temos:

Passo 2

Observe que x 2 - 4 e 5 x - 8 são funções polinomiais, então f é contínua em [ - 2 ,   1 ) e 1 , 8 5 . Precisamos verificar sua continuidade quando x = 1 . Assim:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ x 2 - 4 = 1 2 - 4 = 1 - 4 = - 3

lim x → 1 ∓ ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ 5 x - 8 = 5 1 - 8 = 5 - 8 = - 3

Como lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 ∓ ⁡ f x = f ( 1 ) , temos que f é contínua em x = 1 . Portanto, a função f é contínua em - 2 , 8 5 .

Como x 2 - 4 e 5 x - 8 são funções polinomiais, então f é derivável em ( - 2 ,   1 ) e 1 , 8 5 . Precisamos verificar quando x = 1 . Assim, da definição de derivada:

f + ' 1 = lim x → 1 ∓ ⁡ f x - f 1 x - 1 ⇒

f + ' 1 = lim x → 1 ∓ ⁡ x 2 - 4 + 3 x - 1 ⇒

f + ' 1 = lim x → 1 ∓ ⁡ x 2 - 1 x - 1 ⇒

f + ' 1 = lim x → 1 ∓ ⁡ x - 1 . x + 1 x - 1 ⇒

f + ' 1 = lim x → 1 ∓ ⁡ x + 1 ⇒

f + ' 1 = 1 + 1 ⇒

f + ' 1 = 2

E também:

f - ' 1 = lim x → 1 - ⁡ f x - f 1 x - 1 ⇒

f - ' 1 = lim x → 1 - ⁡ 5 x - 8 + 3 x - 1 ⇒

f - ' 1 = lim x → 1 - ⁡ 5 x - 5 x - 1 ⇒

f - ' 1 = lim x → 1 - ⁡ 5 ( x - 1 ) x - 1 ⇒

f - ' 1 = lim x → 1 - ⁡ 5 ⇒

f - ' 1 = 5

Como f + ' 1 ≠ f - ' 1 , temos que f não é derivável em x = 1 . Portanto, f não é derivável em - 2 , 8 5 .

Observe que f - 2 = f 8 5 = 0 .

Resposta

Portanto, f só satisfaz duas das três condições do teorema de Rolle, logo não é possível aplicá-lo.

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