Enunciado

Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e calcule essa integral.

∫ 0 4 ∫ 0 2 π ∫ r 4 r d z d θ d r

Passo 1

A região de integração é dada por coordenadas cilíndricas:

E = r , θ , z |   0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ r ≤ 4 ,   r ≤ z ≤ 4

Temos o esboço do sólido:

Aqui temos a representação do sólido da região delimitada abaixo pelo cone z = r e acima pelo plano horizontal z = 4 .

Passo 2

Vamos calcular a integral:

∫ 0 4 ∫ 0 2 π ∫ r 4 r   d z d θ d r = ∫ 0 4 ∫ 0 2 π r z r 4 d θ d r = ∫ 0 4 ∫ 0 2 π 4 r - r 2 d θ d r = ∫ 0 4 4 r - r 2   d r ∫ 0 2 π d θ = 2 r 2 - r 3 3 0 4 θ 0 2 π = 32 - 64 3 2 π = 64 π 3

Resposta

∫ 0 4 ∫ 0 2 π ∫ r 4 r   d z d θ d r = 64 π 3

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