Enunciado

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S   F ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).

F x ,   y ,   z = x y   i + y z   j + z x   k   ,

S é a parte do paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 que está acima do quadrado 0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1 , com orientação para cima.

Passo 1

Galera, aqui temos z = g x ,   y = 4 - x 2 - y 2 , e então podemos usar a seguinte fórmula para calcular a integral:

∫ ∫ S   F ∙ d S = ∫ ∫ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R d A

onde F = P   i + Q   j + R   k = x y   i + y z   j + z x   k . Então,

∫ ∫ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R d A = ∫ ∫ D - x y - 2 x - y z - 2 y + z x d A = ∫ ∫ D 2 x 2 y + 2 y 2 z + z x d A

Passo 2

Além disso, D será o quadrado 0 ,   1 × 0 ,   1 , e devemos substituir z = 4 - x 2 - y 2 :

∫ ∫ D 2 x 2 y + 2 y 2 z + z x d A = ∫ 0 1 ∫ 0 1 [ 2 x 2 y + 2 y 2 4 - x 2 - y 2 + x 4 - x 2 - y 2 ]   d y   d x

O que nos resta depois disso é só fazer conta pra calcular a integral dupla:

∫ 0 1 ∫ 0 1 [ 2 x 2 y + 8 y 2 - 2 x 2 y 2 - 2 y 4 + 4 x - x 3 - x y 2 ]   d y   d x = ∫ 0 1 x 2 3 + 11 x 3 - x 3 + 34 15 d x = 713 180

Resposta

713 180

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