Enunciado

Faça esboços, no mesmo conjunto de eixos, dos gráficos de de y = e x e y = 2 x . Ache a área da região limitada pelos dois gráficos e pela reta x = 1 .

Passo 1

O primeiro passo para o esboço de um gráfico é analisar seu domínio e imagem. Ambas as funções estão apenas definidas para x ∈ ( - ∞ , + ∞ ) e tem como imagem o conjunto ( 0 , + ∞ ) .

Passo 2

O segundo passo é observar as assíntotas e quando as funções cruzam os eixos cartesianos. Podemos notar facilmente que:

lim x → - ∞ ⁡ e x = lim x → ∞ ⁡ 2 x = 0

lim x → ∞ ⁡ e x = lim x → ∞ ⁡ 2 x = ∞

Temos então para as duas funções uma assíntota em y = 0 quando x vai ficando muito pequeno. Além disso:

e 0 = 2 0 = 1

Então ambas as funções vem de próximo de 0 quando x é pequeno, cruzam o eixo y em y = 1 e vão para o infinito quando x vai para o infinito. Agora basta analisarmos e compararmos os valores e como é o crescimento de cada uma.

Passo 3

Como e > 2 , para valores positivos de x ,   teremos e x > 2 x e para valores negativos de x teremos e x < 2 x .

Derivando as duas funções:

d d x e x = e x

d d x 2 x = 2 x ln ⁡ 2

Podemos notar que para valores pequenos de x teremos a derivada de 2 x maior, e para valres grandes a derivada de e x será maior. Agora que conseguimos comparar as duas funções e analisar o comportamento de cada uma, podemos esboçar os gráficos.

Passo 4

Para calcularmos a integral limitada pelas funções e a reta x = 1 , percebemos primeiro que a região se inicia quando as duas funções se cruzam em x = 0 , e que e x > 2 x nessa parte do gráfico. A área então é calculada por:

A = ∫ 0 1 e x - 2 x d x

Passo 5

Sabendo que ∫ e x d x = e x + C e ∫ 2 x d x = 2 x ln ⁡ 2 + C , calculamos a integral definida:

∫ 0 1 e x - 2 x d x = e x + 2 x ln ⁡ 2 0 1 = e + 2 ln ⁡ 2 - 1 - 1 ln ⁡ 2 = e - 1 + 1 ln ⁡ 2

Resposta

A = e - 1 + 1 ln ⁡ 2

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